[논문 리뷰] RG flows on $S^d$ and Hamiltonian truncation

Matthijs Hogervorst|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 01.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 55인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $S^d$ 위의 스칼라 양자장론(QFT)에 대한 분할 함수와 상관 함수를 계산하기 위해 비섭동적 해밀토니안 절단 방법을 제시한다. 이는 $S^{d-1}$에서 시간에 따라 변하는 해밀토니안을 사용하고 유한한 상태 절단을 적용한다. 질량이 있는 스칼라 장에 대해 $S^3$에서 분석적 $F$-계수 결과와 강한 일치를 보이며, 보정항 개선 이후 $i\phi^3$ 이론의 UV 유한성을 수치적으로 입증한다.

ABSTRACT

We describe a nonperturbative method to compute the partition function and correlation functions for scalar QFTs set on the $d$-dimensional sphere $S^d$. The method relies on a Hamiltonian picture, where the theory is quantized on $S^{d-1}$ and states evolve in time by means of a time-dependent Hamiltonian. Crucially, the Hilbert space on $S^{d-1}$ is truncated to a finite set of states below a cutoff. Throughout this work we focus on the $ϕ^2$ and $iϕ^3$ flows in three dimensions. In the first part of this paper we analyze the cutoff-dependence of various observables, computing both divergent and RG-improvement counterterms to be added to the action. Next we present nonperturbative results for the massive scalar on $S^3$, finding good agreement in the strong-coupling regime between numerical data and the $F$-coefficient of the free scalar CFT. We also check that the renormalized $i ϕ^3$ theory on $S^3$ is nonperturbatively UV-finite. The scheme in question breaks the $\mathrm{SO}(d+1)$ spacetime symmetry group of $S^d$ down to $\mathrm{SO}(d)$, and in an example we study how the full symmetry is restored in the continuum limit. The relation between our method and earlier work by Al. B. Zamolodchikov involving a specific RG flow on $S^2$ is explained as well.

연구 동기 및 목표

• 스칼라 QFT의 $S^d$ 상에서 QFT 관측량을 계산하기 위한 비섭동적 방법을 개발한다.
• 질량이 있는 스칼라 장론에서 $\phi^2$ 및 $i\phi^3$ 상호작용에 대해 $S^3$ 상의 截단 의존성과 양자역학적 보정을 연구한다.
• $i\phi^3$ 이론의 UV 유한성을 수치적으로 검증하고 자유 스칼라 CFT의 $F$-계수를 수치적으로 재현한다.
• 연속 극한에서 $\mathrm{SO}(d+1)$ 시공간 대칭의 복원을 분석한다.
• Zamolodchikov의 $S^2$ 상의 RG 흐름에 대한 이전 연구와의 연결을 시도한다.

제안 방법

• $S^{d-1}$ 상에서 스칼라 QFT를 시간에 따라 변하는 해밀토니안으로 양자화하여, 이론을 $d-1$ 차원 양자 시스템으로 간주한다.
• 절단값 $\Lambda$ 이하의 상태 수를 유한하게 제한하여 포크 공간을 절단함으로써 힐베르트 공간의 크기를 관리 가능한 크기로 줄인다.
• 시간 슬라이스를 $T \gg 1$로 이산화하고 중간 상태를 통합하여 다이슨 연산자 $U$를 계산한다.
• 구면 기하학과 반경 방향 의존성 처리를 위해 모드 함수 $K_\ell(\tau)$와 게겐바우어 다항식을 사용한다.
• 발산을 제거하고 연속 극한에 수렴하는 데 도움이 되는 RG 개선 보정항을 적용한다.
• UV에서의 등각 대칭성을 활용하여 행렬 요소를 제약하고 계산 효율을 향상시킬 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀토니안 절단이 $S^{d-1}$ 상에서 $S^d$ 상의 QFT에 대해 신뢰할 수 있는 비섭동 결과를 제공할 수 있는가?
• RQ2 분할 함수와 상관 함수에서의 절단 의존성 발산은 어떻게 행동하며, 체계적으로 제거될 수 있는가?
• RQ3 $S^3$ 상의 $i\phi^3$ 이론은 로그 보정항을 추가한 후에도 여전히 UV 유한한가?
• RQ4 연속 극한 $\Lambda \to \infty$ 에서 $\mathrm{SO}(d+1)$ 시공간 대칭은 어느 정도 복원되는가?
• RQ5 이 방법을 사용하여 자유 스칼라 CFT의 $F$-계수를 수치적으로 정확하게 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 강한 결합 영역에서 수치 데이터와 분석 결과 사이에 양호한 일치를 보이며, 이 방법은 $S^3$ 상의 자유 스칼라 CFT의 $F$-계수를 재현한다.
• $S^3$ 상의 $i\phi^3$ 이론에 대해, 절단값 $\Lambda$ 와 함께 로그적으로 증가하는 국소 보정항을 추가한 후에도 수치적 증거가 UV 유한성을 지지한다.
• $\mathrm{SO}(d+1)$ 워드 항등식의 절단 위반 현상이 연속 극한 $\Lambda \to \infty$ 에서 $\langle\phi^2\rangle$ 일점 함수에 대해 사라진다.
• 이 방법은 $S^3$ 상의 $\phi^2$ 흐름을 정확히 포착하며, 알려진 분석적 기대와 일치하는 결과를 얻는다.
• 이 방법은 $\mathbb{R} \times S^{d-1}$ 와 웨일 등가인 다른 다양체, 예를 들어 유클리드 AdS 또는 데 시터 공간으로 일반화 가능하다.
• 등각 대칭성을 통합하면 필요한 행렬 요소의 수를 줄여 계산 효율을 크게 향상시킬 수 있다.