[논문 리뷰] Rheochaos in a Scalar Shear-Thickening Model

M. E. Cates, David Head외 1명|arXiv (Cornell University)|2002. 04. 07.

Rheology and Fluid Dynamics Studies인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 레이놀즈 수가 0인 조건에서 점성 체류 유체의 스칼라 구성 모델을 제안하며, 여기서 응력 회복은 비선형적이며 비단조적인 비율 R(σ₁)과 선형 비율 λσ₂라는 두 가지 서로 경쟁하는 경로를 통해 발생한다. 특히 τ₂ > τ₁ 이며 −λ < R′(σ) < 0 인 특정 매개변수 영역에서는 단조적인 정 steady-state 유동 곡선에도 불구하고 주기 두重화 경로를 통해 혼돈이 발생함을 보이며, 이는 복잡한 유체에서의 유변학적 혼돈을 위한 일반적인 메커니즘을 드러낸다.

ABSTRACT

We study a simple scalar constitutive equation for a shear-thickening material at zero Reynolds number, in which the shear stress \sigma is driven at a constant shear rate \dot\gamma and relaxes by two parallel decay processes: a nonlinear decay at a nonmonotonic rate R(\sigma_1) and a linear decay at rate \lambda\sigma_2. Here \sigma_{1,2}(t) = au_{1,2}^{-1}\int_0^t\sigma(t')\exp[-(t-t')/ au_{1,2}] { m d}t' are two retarded stresses. For suitable parameters, the steady state flow curve is monotonic but unstable; this arises when au_2> au_1 and 0>R'(\sigma)>-\lambda so that monotonicity is restored only through the strongly retarded term (which might model a slow evolution of material structure under stress). Within the unstable region we find a period-doubling sequence leading to chaos. Instability, but not chaos, persists even for the case au_1 o 0. A similar generic mechanism might also arise in shear thinning systems and in some banded flows.

연구 동기 및 목표

• 영구 레이놀즈 수 조건 하에서 점성 체류 유체의 최소 모델에서 혼돈 역학의 발생을 조사하기 위해.
• 비선형 및 선형 응력 회복 메커니즘이 상호 작용함에도 불구하고 단조적인 정 steady-state 유동 곡선을 가진 상태에서 불안정성과 혼돈이 어떻게 유도되는지 분석하기 위해.
• 특히 지연된 응력 성분 간의 시간 스케일 분리가 포함된 매개변수 영역에서 주기 두重화를 통해 혼돈이 발생하는 조건을 규명하기 위해.
• 비선형 회복 시간 τ₁ → 0 일 때의 극한을 고려하여 이 메커니즘의 강건성을 탐색하기 위해.
• 유사한 메커니즘이 점성 감소 유체 및 띠형 유동에서 혼돈을 유도할 수 있음을 제안하기 위해.

제안 방법

• 정수리 속도 ɣ̇ 가 일정한 조건에서 응력 σ 를 기반으로 하는 스칼라 구성 방정식을 수립하며, 지연된 응력 성분 σ₁ 및 σ₂ 는 지수 평균 커널을 통해 정의된다.
• 비선형 감쇠 비율 R(σ₁) 는 비단조적이며, 응력 역사에 민감한 피드백 메커니즘을 도입한다. 반면 σ₂ 는 비율 λ 로 선형적으로 감쇠된다.
• 시간 상수 τ₁ = a u₁⁻¹ 과 τ₂ = a u₂⁻¹ 은 각각 σ₁ 과 σ₂ 의 기억 깊이를 제어하며, τ₂ > τ₁ 이면 안정화 성분의 강한 지연을 가능하게 한다.
• 모델은 정 steady-state 유동 곡선이 단조적이지만, R(σ₁) 과 λσ₂ 간의 상호작용으로 인해 불안정해지는 매개변수 영역에서 분석된다.
• 분기 분석을 통해 안정된 유동에서 주기적 진동으로, 그리고 결국 주기 두重화 시퀀스를 통해 혼돈으로의 전이를 추적한다.
• 수치적 및 해석적 방법을 통해 시스템의 거동를 연구하며, 특히 R′(σ) 와 비율 τ₂/τ₁ 이 불안정성과 혼돈을 가능하게 하는 역할을 중심으로 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점성 체류 유체에서 단조적인 정 steady-state 유동 곡선이 단조적임에도 불구하고 어떤 조건에서 불안정해지는가?
• RQ2 서로 경쟁하는 비선형 및 선형 응력 회복 경로가 최소 스칼라 모델에서 어떻게 혼돈 역학을 유도하는가?
• RQ3 두 지연된 응력 성분 간의 시간 스케일 분리는 주기 두重화 및 혼돈을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 비선형 회복 시간 τ₁ 이 0에 수렴할 때에도 혼돈이 유지되는가? 이는 메커니즘의 강건성을 시사한다.
• RQ5 이 메커니즘은 점성 감소 유체나 띠형 유동과 같은 다른 복잡한 유체 계열로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 비단조적인 회복 비율 R(σ₁) 가 −λ < R′(σ) < 0 를 만족하고 τ₂ > τ₁ 인 경우, 모델에서 주기 두重화 시퀀스를 통해 혼돈이 발생한다.
• 정 steady-state 유동 곡선은 그대로 단조적이지만, 강하게 지연된 성분 σ₂ 가 지연된 안정화를 제공하는 매개변수 영역에서는 불안정해진다.
• τ₁ → 0 의 극한에서도 불안정성이 발생함을 확인하여, 혼돈 메커니즘이 빠른 비선형 피드백에 의존하는 것이 아니라, 회복 과정 간의 상대적 시간 간격에 의해 결정됨을 시사한다.
• 비단조적인 R(σ₁) 의 존재는 불안정성과 이후 혼돈의 발생에 필수적이며, 이는 비선형 피드백 루프를 도입하기 때문이다.
• 이 모델은 점성 감소 및 띠형 유동을 포함한 다른 복잡한 유체 시스템으로까지 확장 가능한 일반적인 유변학적 혼돈 메커니즘을 제안한다. 이는 유사한 경쟁적 회복 역학에 기인한다.