[논문 리뷰] Ribbon Complexes & their Approximate Descriptive Proximities. Ribbon & Vortex Nerves, Betti Numbers and Planar Divisions

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 알렉산드로프-호프-화이트헤드 CW 위상수학적 공간에서 리본 복합체, 리본 신경망, 복합 신경망을 도입하며, 평면 리본과 그 교차의 위상적 특징을 수량화하기 위해 새로운 베텨리 수 Brb, Brbx, BrbNrv를 정의한다. 리본 신경망과 그 합집합은 동치 위상형을 공유하며, 에델스브너-하르의 신경망 정리가 리본 구조로 일반화되며, 리본은 평면을 세 개의 서로소 유계 영역으로 나누고, 그 경계에 브라우어 고정점이 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

This article introduces planar ribbons, Vergili ribbon complexes and ribbon nerves in Alexandroff-Hopf-Whitehead CW (Closure finite Weak) topological spaces. A {\em planar ribbon} (briefly, {ribbon}) in a CW space is the closure of a pair of nesting, non-concentric filled cycles that includes the boundary but does not include the interior of the inner cycle. Each planar ribbon has its own distinctive shape determined by its outer and inner boundaries and the interior within its boundaries. A Vergili ribbon complex (briefly, ribbon complex) in a CW space is a non-void collection of countable planar ribbons. A ribbon nerve is a nonvoid collection of planar ribbons (members of a ribbon complex) that have nonempty intersection. A planar CW space is a non-void collection of cells (vertexes, edges and filled triangles) that may or may not be attached to other and which satisfy Alexandroff-Hopf-Whitehead containment and intersection conditions. In the context of CW spaces, planar ribbons, ribbon complexes and ribbon nerves are characterized by Betti numbers derived from standard Betti numbers $\mathcal{B}_0$ (cell count), $\mathcal{B}_1$ (cycle count) and $\mathcal{B}_2$ (hole count), namely, $\mathcal{B}_{rb}$ and $\mathcal{B}_{rbNrv}$ introduced in this paper. Results are given for collections of ribbons and ribbon nerves in planar CW spaces equipped with an approximate descriptive proximity, division of the plane into three bounded regions by a ribbon and Brouwer fixed points on ribbons. In addition, the homotopy types of ribbons and ribbon nerves are introduced.

연구 동기 및 목표

• 평면 리본을 내부가 제거된 중첩되고 공심이 아닌 채워진 고리 사이의 영역으로 정의함으로써, CW 공간 내에서 위상적 구조로 공식화한다.
• 비어 있지 않은 가산 평면 리본의 집합으로서 리본 복합체를 정의하고, 리본 신경망을 리본의 상호작용하는 부분집합으로 정의한다.
• 리본의 필라멘트, 구멍, 겹치는 리본 등의 위상적 특징을 수량화하기 위해 새로운 베텰리 수 Brb, Brbx, BrbNrv를 도입한다.
• 리본 신경망과 그 합집합 사이의 위상형 동치를 확립하여, 에델스브너-하르의 신경망 정리를 리본 구조로 일반화한다.
• 리본이 평면을 어떻게 나누는지 분석하고, 리본 경계에 브라우어 고정점이 존재함을 증명한다.

제안 방법

• 두 개의 중첩되고 공심이 아닌 채워진 고리 사이의 영역의 클로저로 평면 리본을 정의하며, 내부 고리의 내부는 제외한다.
• CW 공간 내에서 이러한 리본들의 비어 있지 않은 집합으로 버질리 리본 복합체를 정의하고, 닫힘-유한한 약한 위상구조를 만족시킨다.
• 여러 리본의 교차가 비어 있지 않은 경우로 리본 신경망을 정의하고, 중첩된 리본 구조로서 복합 신경망의 개념을 도입한다.
• 베텔리 수 B0, B1, B2를 기반으로 세 가지 새로운 베텔리 수를 제안한다: Brb(개별 리본용), Brbx(리본 복합체용), BrbNrv(리본 신경망용).
• 에델스브너-하르 정리를 적용하여, 닫힘이고 볼록한 리본 복합체의 집합의 신경망이 그 합집합과 동일한 위상형을 가짐을 증명한다.
• 공간적 관계와 그 위상적 불변량을 분석하기 위해 근사적 묘사적 근접성을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 리본은 어떻게 CW 위상수학적 공간 내에서 공식화되고 특성화될 수 있는가?
• RQ2 리본, 리본 복합체, 리본 신경망에 관련된 위상적 불변량(예: 베텔리 수)은 무엇인가?
• RQ3 리본 구조는 평면을 어떻게 나누며, 그 경계에 적용 가능한 고정점 정리는 무엇인가?
• RQ4 리본 신경망의 위상형은 무엇이며, 그 구성 리본들의 합집합과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 에델스브너-하르 정리는 유클리드 공간 내의 리본 복합체와 신경망으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 평면 리본은 평면을 세 개의 서로소 유계 영역으로 나누며, 모든 리본은 경계에 적어도 하나의 브라우어 고정점을 포함한다.
• 리본의 베텔리 수 Brb(rbE)는 하나의 필라멘트, 두 개의 고리, 세 개의 구멍을 가진 리본에 대해 B0(rbE) + B1(rbE) + B2(rbE) = 1 + 2 + 3 = 6으로 정의된다.
• 리본 복합체의 베텔리 수 Brbx(rbxK)는 복합체에 포함된 모든 리본의 Brb(rbE)의 합과 같으며, 다섯 개의 리본을 가진 복합체의 경우 Brbx = 5이다.
• 리본 신경망의 베텔리 수 BrbNrv(rbNrvE)는 B0 + B1 + B2 = 0 + 3 + 3 = 6으로 계산되며, 이는 세 개의 겹치는 리본과 여섯 개의 구멍을 가진 신경망에 해당한다.
• 닫힘이고 볼록한 리본 복합체의 집합의 신경망은 그 합집합과 동일한 위상형을 가지며, 이는 에델스브너-하르 정리를 일반화한다.
• 복합 신경망의 경우, 베텔리 수 Brb-vNrv(vNrvE)는 신경망에 포함된 모든 리본의 Brb(rbA)의 합이며, BrbNrv-vNrv(vNrvE)는 모든 신경망 구성 요소의 BrbNrv(rbNrvA)의 합이다.