[논문 리뷰] Ricci Curvatures on Hermitian manifolds

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 09.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 52인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체에 대한 첫 번째 Aeppli-Chern 계수를 도입하고, 반준비선다발 위의 Levi-Civita 접속의 곡률을 통해 그 기하학적 의의를 규명한다. 허미트, Chern, 리만 연결에서의 리치 곡률을 체계적으로 비교하고, 호프 다각형 $\mathbb{S}^{2n-1} \times \mathbb{S}^1$ 위에 명시적인 Levi-Civita 리치 평탄도 메트릭을 구성하며, 비카일러 허미트 다각형이 비음성인 첫 번째 체르니 클래스를 가질 수 있음에도 엄격히 음성인 리만 스칼라 곡률을 가질 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce the first Aeppli-Chern class for complex manifolds and show that the $(1,1)$- component of the curvature $2$-form of the Levi-Civita connection on the anti-canonical line bundle represents this class. We systematically investigate the relationship between a variety of Ricci curvatures on Hermitian manifolds and the background Riemannian manifolds. Moreover, we study non-Kähler Calabi-Yau manifolds by using the first Aeppli-Chern class and the Levi-Civita Ricci-flat metrics. In particular, we construct explicit Levi-Civita Ricci-flat metrics on Hopf manifolds $S^{2n-1} imes S^1$. We also construct a smooth family of Gauduchon metrics on a compact Hermitian manifolds such that the metrics are in the same first Aeppli-Chern class, and their first Chern-Ricci curvatures are the same and nonnegative, but their Riemannian scalar curvatures are constant and vary smoothly between negative infinity and a positive number. In particular, it shows that Hermitian manifolds with nonnegative first Chern class can admit Hermitian metrics with strictly negative Riemannian scalar curvature.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체에 대한 첫 번째 Aeppli-Chern 계수를 정의하고 연구하기 위해 반준비선다발 위의 Levi-Civita 접속의 곡률을 사용한다.
• 특히 비카일러 설정에서, 허미트 다각형 위에서 다양한 리치 곡률(Levi-Civita, Chern, 리만) 간의 관계를 명확히 한다.
• 호프 다각형 $\mathbb{S}^{2n-1} \times \mathbb{S}^1$ 위에 명시적인 Levi-Civita 리치 평탄도 메트릭을 구성한다.
• 비음성인 첫 번째 체르니 클래스를 가진 허미트 다각형이 엄격히 음성인 리만 스칼라 곡률을 가질 수 있음을 보여준다.
• 동일한 Aeppli-Chern 계수 내에서, 동일한 비음성인 첫 번째 체르니-리치 곡률을 가지지만 스칼라 곡률이 $-\infty$ 에서 양수로까지 변화하는 매끄러운 Gauduchon 메트릭의 1파라미터 가중치를 구성한다.

제안 방법

• 반준비선다발 위의 Levi-Civita 접속의 곡률을 통해 $H^{1,1}_A(M)$ 내의 코homology 클래스로 첫 번째 Aeppli-Chern 계수 $c_1^{AC}$ 를 정의한다.
• 허미트 메트릭으로 라만 곡률 텐서를 수축하여 Levi-Civita 리치 곡률 $\mathfrak{R}^{(1)}$ 에서 $\mathfrak{R}^{(4)}$ 까지의 네 개의 성분을 정의한다.
• 첫 번째 체르니 클래스 $c_1(M)$ 를 표현하기 위해 체르니 접속의 곡률 $\Theta$ 를 사용하고, 이를 리만 기하학과 허미트 기하학 간의 연결을 위해 Levi-Civita 곡률 $\mathfrak{R}$ 과 비교한다.
• Bianchi 항등식을 적용하여 $*$-리치 곡률을 허미트 스칼라 곡률과 연결하고, $s^* = 2s_H$ 를 보여준다.
• 특정 앤티를 사용하여 호프 다각형 위에 명시적인 허미트 메트릭을 구성하고, 곡률 계산을 통해 리치 평탄도를 검증한다.
• 동일한 Aeppli-Chern 계수 내에서, 고정된 비음성인 첫 번째 체르니-리치 곡률을 가지지만 스칼라 곡률이 $-\infty$ 에서 양수로까지 매끄럽게 변화하는 Gauduchon 메트릭의 매끄러운 1파라미터 가중치를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첫 번째 Aeppli-Chern 계수는 반준비선다발 위의 Levi-Civita 접속의 곡률로서 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 비카일러 허미트 다각형에서 다양한 리치 곡률(Levi-Civita, 체르니, 리만, $*$-리치) 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 비카일러 칼라비-유다이 다각형은 존재하는가? 그리고 Levi-Civita 리치 평탄도 메트릭을 통해 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ4 비음성인 첫 번째 체르니 클래스를 가진 허미트 다각형이 엄격히 음성인 리만 스칼라 곡률을 가질 수 있는가?
• RQ5 동일한 Aeppli-Chern 계수 내에서, 동일한 비음성인 첫 번째 체르니-리치 곡률을 가지지만 스칼라 곡률이 변화하는 매끄러운 Gauduchon 메트릭의 가중치가 존재하는가?

주요 결과

• 첫 번째 Aeppli-Chern 계수 $c_1^{AC}(L)$ 는 반준비선다발 위의 Levi-Civita 접속의 곡률 2형식의 $(1,1)$-성분으로 표현된다.
• 첫 번째 Levi-Civita 리치 곡률 $\mathfrak{R}^{(1)}$ 는 $d$-닫혀 있지 않으며 따라서 $H^{1,1}_{\overline{\partial}}(M)$ 에서의 클래스를 나타내지 못하지만, Aeppli 코hom로에서 클래스를 정의한다.
• 호프 다각형 $\mathbb{S}^{2n-1} \times \mathbb{S}^1$ 에 대해 $n \geq 2$ 일 때, 명시적인 Levi-Civita 리치 평탄도 메트릭이 구성된다.
• 일반적인 허미트 다각형 위에서, 모든 메트릭이 동일한 첫 번째 Aeppli-Chern 계수에 속하고, 동일한 비음성인 첫 번째 체르니-리치 곡률을 가지며, 리만 스칼라 곡률이 $-\infty$ 에서 양수로까지 매끄럽게 변화하는 Gauduchon 메트릭의 매끄러운 가중치가 구성된다.
• 비음성인 첫 번째 체르니 클래스를 가진 허미트 다각형가 엄격히 음성인 리만 스칼라 곡률을 가질 수 있으며, 이는 칼라비 기하학의 직관적 기대와 배치된다.
• $*$-리치 곡률은 일반적으로 대칭적이지도, 반대칭적이지도 않으며, 그 혼합 대칭 성질 때문에 어떤 거의 허미트 다각형에서도 정의되지 않는다.