[논문 리뷰] Ricci flow coupled with harmonic map flow

Reto Müller|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 45인용 수 103

한 줄 요약

이 논문은 리만 계량과 다중 다양체에서 목표 공간으로의 매핑을 동시에 진화시키는 결합된 리치-호르미트 매핑 유동을 제안한다. 양의 결합 상수 α를 도입함으로써, 호르미트 매핑 성분에서 에너지 집중을 방지하고 곡률 제어를 통한 정칙성을 확보한다. 주요 기여는 에너지, 엔트로피, 축소 체적에 대한 단조성 공식 유도로, 이는 비자명한 브리이커와 기하학적 붕괴와 같은 유한시간 특이성을 배제한다.

ABSTRACT

We investigate a new geometric flow which consists of a coupled system of the Ricci flow on a closed manifold M with the harmonic map flow of a map phi from M to some closed target manifold N with a (possibly time-dependent) positive coupling constant alpha. This system can be interpreted as the gradient flow of an energy functional F_alpha which is a modification of Perelman's energy F for the Ricci flow, including the Dirichlet energy for the map phi. Surprisingly, the coupled system may be less singular than the Ricci flow or the harmonic map flow alone. In particular, we can always rule out energy concentration of phi a-priori - without any assumptions on the curvature of the target manifold N - by choosing alpha large enough. Moreover, if alpha is bounded away from zero it suffices to bound the curvature of (M,g(t)) to also obtain control of phi and all its derivatives - a result which is clearly not true for alpha = 0. Besides these new phenomena, the flow shares many good properties with the Ricci flow. In particular, we can derive the monotonicity of an entropy functional W_alpha similar to Perelman's Ricci flow entropy W and of so-called reduced volume functionals. We then apply these monotonicity results to rule out non-trivial breathers and geometric collapsing at finite times.

연구 동기 및 목표

• 콤��� 다중 다양체에서 리치 유동과 호르미트 매핑 유동의 결합 시스템을 연구하기 위해.
• 특히 호르미트 매핑 성분에서 에너지 집중이 발생할 수 있는 경우에 정칙성과 특이성 형성 분석하기 위해.
• 결합 유동 하에서 에너지, 엔트로피, 축소 체적 함수의 단조성 확립하기 위해.
• 단조성의 응용을 통해 비자명한 브리이커와 기하학적 붕괴가 유한시간에 발생하지 않음을 입증하기 위해.
• 양의 결합 상수 α를 통해 φ의 모든 도함수의 장기 존재성과 제어 가능성을 보여주기 위해.

제안 방법

• ({RH})α 유동 정의: ∂tg = −2Rc + 2α∇φ⊗∇φ 및 ∂tφ = τgφ, α ≥ ᾱ > 0.
• 데투르크의 기법을 사용하여 미분형식 게이지 고정을 통해 약한 편평성 시스템을 엄밀한 편평성 시스템으로 변환하기 위해.
• 공액자 항등식과 곡률 공식을 사용하여 곡률 텐서, 리치 곡률, φ의 기울기의 진화 방정식 유도하기 위해.
• 수정된 에너지 함수 Fα(g, φ, f)를 정의하고, 이 함수가 유동 하에서 비감소함을 보이며, 일정일 조건은 안정 기울기 솔리톤일 때뿐임을 증명하기 위해.
• 역행 시간 축소 체적 함수 ˜Vk(t)를 구성하고, Lb-지오데식과 자코비안 추정을 사용하여 단조성 증명하기 위해.
• 최대 원리와 바리어 방법을 적용하여 |∇φ|2와 리만 곡률 텐서의 성장 제어하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결합된 리치-호르미트 매핑 유동은 호르미트 매핑 성분에서의 에너지 집중을 방지할 수 있는가?
• RQ2 (M, g(t))의 곡률이 유계일 경우 α ≥ ᾱ > 0 일 때 φ의 모든 도함수가 제어 가능한가?
• RQ3 결합 시스템에 대해 에너지, 엔트로피, 축소 체적의 단조성이 확립될 수 있는가?
• RQ4 이 함수들의 단조성이 비자명한 브리이커와 기하학적 붕괴를 유한시간에 배제하는가?
• RQ5 ({RH})α 유동이 장기 존재성을 갖는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 충분히 큰 임의의 α > 0 에 대해, 호르미트 매핑 φ의 에너지 집중은 사전에 배제된다.
• 유동 동안 곡률 |Rm| 이 유계이면, |∇φ|2와 φ의 모든 고차 도함수는 균일하게 유계로 유지된다.
• 수정된 에너지 함수 Fα(g, φ, f)는 유동 하에서 비감소하며, 일정일 조건은 (g(t), φ(t)) 가 안정 기울기 솔리톤일 때뿐이다.
• 축소 체적 함수 ˜Vk(t)는 역행 시간에 대해 비증가하며, 이의 극한 행동은 유한시간 특이성을 배제하는 데 사용된다.
• 균일한 리만 곡률 유계성은 ({RH})α 유동의 장기 존재성을 암시한다.
• 단조성 ˜Vk(t)를 사용한 모순 증명을 통해, 비자명한 브리이커와 기하학적 붕괴는 유한시간에 발생하지 않음을 입증한다.