[논문 리뷰] Ricci flow on Orbifold

Bing Wang|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 50인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한한 특이점을 가진 컴acts 오르비폴드 위의 리치 흐름에 대한 기본 이론을 수립하며, 페르렐라의 가짜국소성 정리와 오르비폴드 리치 흐름에 대한 약한 컴팩트성 정리를 증명한다. 이러한 결과들을 응용하여, 특정한 파노 오르비폴드—예를 들어 하나의 보통 이중점이 있는 삼차 표면 또는 $\mathbb{A}_k$ 특이점을 가진 $k \leq 6$ 인 degree 1 델 페초 표면—위의 카플러-리치 흐름이 카플러-아인슈타인 계량으로 수렴함을 보이며, 이를 통해 흐름을 통한 이러한 계량의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the behavior of Ricci flows on compact orbifolds with finite singularities. We show that Perelman's pseudolocality theorem also holds on orbifold Ricci flow. Using this property, we obtain a weak compactness theorem of Ricci flows on orbifolds under some natural technical conditions. This generalizes the corresponding theorem on manifolds. As an application, we can use Kähler Ricci flow to find new Kähler Einstein metrics on some orbifold Fano surfaces. For example, if $Y$ is a cubic surface with only one ordinary double point or $Y$ is an orbifold Fano surface with degree 1 and every singularity on it is a rational double point of type $\A_k (1 \leq k \leq 6)$, then we can find a KE metric of $Y$ by running Kähler Ricci flow.

연구 동기 및 목표

• 유한한 특이점을 가진 컴팩트 오르비폴드 위에 페르렐라의 리치 흐름 이론을 확장하기 위해.
• 자연스러운 기술적 조건 하에서 오르비폴드 리치 흐름에 대한 가짜국소성 정리와 약한 컴팩트성 정리를 수립하기 위해.
• 이러한 결과들을 파노 오르비폴드 위의 카플러-리치 흐름에 적용하여 카플러-아인슈타인 계량의 존재성을 증명하기 위해.
• 유한한 특이점을 가진 파노 오르비폴드에 대해 캘라비의 추측에 대한 흐름 기반 증명을 일반화하기 위해.
• 특정 오르비폴드 파노 표면에서 카플러-아인슈타인 계량을 찾는 구축 가능한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 동일한 함수 및 축소된 거리 프레임워크를 사용하여, 페르렐라의 가짜국소성 정리를 오르비폴드 리치 흐름으로 일반화한다.
• 곡률 및 부피 유계 조건 하에서 흐름의 수열을 정교화함으로써 오르비폴드 위의 리치 흐름에 대한 약한 컴팩트성 정리를 수립한다.
• 카플러-리치 흐름의 '타임드니스 조건'을 도입하며, 이는 $K_Y^{-\nu}$의 헬름홀로픽 섹션의 $L^2$-노름을 포함하는 함수의 균일한 유계성에 의해 정의된다.
• $\alpha_{\nu,k}$-불변량을 특이점에 대한 대수적 장벽으로 사용하고, 이를 수렴 조건을 검증하는 데 응용한다.
• 특정 오르비폴드에 이론을 적용하기 위해 [31], [46], [11]의 결과를 사용하여 $\alpha_{\nu,1}$ 및 $\alpha_{\nu,2}$를 계산한다.
• $\mu$-함수와 부분 $C^0$-추정을 활용하여 곡률을 통제하고, 타임드니스 조건과 $\alpha_{\nu,k}$-유계 조건 하에서 카플러-아인슈타인 계량으로의 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페르렐라의 가짜국소성 정리는 특이점이 유한한 오르비폴드 위의 리치 흐름에 대해서도 성립하는가?
• RQ2 곡률 및 부피 유계 조건 하에서 오르비폴드 위의 리치 흐름에 대해 약한 컴팩트성 정리를 확립할 수 있는가?
• RQ3 파노 오르비폴드 위의 카플러-리치 흐름이 카플러-아인슈타인 계량으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 $\alpha_{\nu,k}$-불변량을 사용하여 타임드니스 조건을 검증하고 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어 하나의 보통 이중점이 있는 삼차 표면 또는 $\mathbb{A}_k$ 특이점을 가진 degree 1 델 페초 표면과 같은 특정한 파노 오르비폴드는 카플러-리치 흐름을 통해 카플러-아인슈타인 계량을 갖는가?

주요 결과

• 페르렐라의 가짜국소성 정리는 특이점이 유한한 컴팩트 오르비폴드 위의 리치 흐름에 대해 성립한다.
• 자연스러운 곡률 및 부피 유계 조건 하에서 오르비폴드 리치 흐름에 대한 약한 컴팩트성 정리가 수립된다.
• 만일 $\alpha_{\nu,1} > \frac{2}{3}$ 또는 $\alpha_{\nu,2} > \frac{2}{3}$ 이고 $\alpha_{\nu,1} > \frac{1}{2 - \frac{1}{3\alpha_{\nu,2}}}$ 이면, 파노 오르비폴드 위의 카플러-리치 흐름은 카플러-아인슈타인 계량으로 수렴한다.
• 한 개의 보통 이중점이 있는 삼차 표면 위의 카플러-리치 흐름은 카플러-아인슈타인 계량으로 수렴한다.
• 모든 $\mathbb{A}_k$ 특이점이 존재하고 $k \leq 6$ 인 degree 1 델 페초 표면 위의 카플러-리치 흐름은 카플러-아인슈타인 계량으로 수렴한다.
• 이러한 오르비폴드 위의 카플러-아인슈타인 계량 존재성은 흐름을 통해 증명되었으며, 캘라비의 추측을 오르비폴드 설정으로 일반화하였다.