[논문 리뷰] Ricci solitons on Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds

Shyamal Kumar Hui, Richard S. Lemence외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다양한 곡률 텐서—연직, 사영, $W_3$, 공호모닉, 등각—에 대해 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체에서 리치 솔리톤을 조사한다. 각 경우에 대해 함수 $L_S$의 명시적 표현을 유도하고, 리치 솔리톤이 수축, 정체, 또는 팽창하는지를 결정하는 임계값을 규명하며, 차원 3에서 연직 경우에 대해 구체적인 예를 구성한다.

ABSTRACT

The object of the present paper is to study some types of Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds whose metric is Ricci soliton. We found the conditions when Ricci soliton on concircular Ricci pseudosymmetric, projective Ricci pseudosymmetric, $W_{3}$-Ricci pseudosymmetric, conharmonic Ricci pseudosymmetric, conformal Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds to be shrinking, steady and expanding. We also construct an example of concircular Ricci pseudosymmetric $(LCS)_3$-manifold whose metric is Ricci soliton.

연구 동기 및 목표

• 다양한 곡률 텐서에 대해 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체에서 리치 솔리톤을 조사한다.
• 그러한 리치 솔리톤이 수축, 정체, 또는 팽창하는 조건을 규명한다.
• 각 리치 미스터리스터 성질 유형에 대응하는 함수 $L_S$의 명시적 표현을 유도한다.
• 리치 솔리톤을 지닌 연직 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_3$-다양체의 구체적 예를 구성한다.
• 각 곡률 유형에 대해 리치 솔리톤 유형을 분류하는 데 사용되는 $L_S$의 임계값을 규명한다.

제안 방법

• 리치 미스터리스터를 조건 $(R(X,Y)\cdot S)(Z,U) = L_S \cdot Q(g,S)(Z,U;X,Y)$를 통해 정의하며, $S \neq \frac{r}{n}g$인 영역에서 적용한다.
• $(LCS)_n$-다양체 구조에 리치 솔리톤 조건 $\mathcal{L}_V g + 2S + 2\lambda g = 0$를 적용한다.
• 연직 벡터장 $P$, 1형식 $\eta$, 그리고 관련 함수 $\alpha$, $\rho$, $\lambda$를 포함한 $(LCS)_n$-다양체의 기하적 성질을 활용한다.
• 각 곡률 텐서(연직, 사영, $W_3$, 공호모닉, 등각)가 리치 텐서에 작용하는 방식을 계산하고, 텐서 항등식을 통해 $L_S$ 표현식을 도출한다.
• 유도된 $L_S$ 표현식을 사용하여 $\lambda$의 부호를 분석함으로써 솔리톤 유형(수축, 정체, 팽창)을 결정한다.
• 리치 솔리톤을 지닌 연직 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_3$-다양체의 3차원 예를 구성하여 정리 3.1을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연직 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체에서 리치 솔리톤이 수축, 정체, 또는 팽창하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 사영, $W_3$, 공호모닉, 등각 등 다양한 리치 미스터리스터 성질에서 $(LCS)_n$-다양체 내에서 함수 $L_S$는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 각 곡률 기반 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체에서 리치 솔리톤 유형을 결정하는 $L_S$의 임계값은 무엇인가?
• RQ4 리치 솔리톤 메트릭을 지닌 연직 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_3$-다양체의 명시적 예를 구성할 수 있는가?
• RQ5 기하학적 불변량 $\alpha$, $\rho$, $n$은 이러한 다양체에서 리치 솔리톤의 분류에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 연직 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체의 경우, $L_S = (\alpha^2 - \rho) + \frac{\lambda}{n-1} + \frac{\alpha}{n}$이며, 솔리톤은 $L_S < \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$, $= \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$, 또는 $> \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$일 때 각각 수축, 정체, 팽창한다.
• 사영 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체의 경우, $L_S = \left(1 + \frac{2\lambda}{\alpha}\right)(\alpha^2 - \rho)$이며, 임계값은 $\alpha^2 - \rho$이다. 이는 $\alpha > \alpha^2 - \rho$일 때 성립한다.
• $W_3$-리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체의 경우, $L_S = \left(1 + \frac{2\lambda}{\alpha}\right)(\alpha^2 - \rho) - \frac{\alpha + \lambda}{n-1}$이며, 임계값은 $\alpha^2 - \rho - \frac{\alpha}{n-1}$이다. 이는 $\frac{(n-1)\alpha}{2(n-1)(\alpha^2) - \alpha} > 0$일 때 유효하다.
• 공호모닉 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체의 경우, $L_S = \frac{\alpha + 2\lambda}{n-2} - (\alpha^2 - \rho)$이며, 임계값은 $\frac{\alpha}{n-2} - (\alpha^2 - \rho)$이다.
• 등각 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_n$-다양체의 경우, $L_S = \frac{\lambda}{n-1} - (\alpha^2 - \rho)$이며, 임계값은 $-(\alpha^2 - \rho)$이다. 이에 따라 $\lambda < 0$, $= 0$, 또는 $> 0$은 각각 $L_S < -(\alpha^2 - \rho)$, $= -(\alpha^2 - \rho)$, 또는 $> -(\alpha^2 - \rho)$일 때 성립한다.
• 리치 솔리톤 메트릭을 지닌 연직 리치 미스터리스터가 되는 $(LCS)_3$-다양체의 명시적 예가 구성되었으며, 이는 정리 3.1를 검증하고 유도된 $L_S$ 표현식 및 솔리톤 유형 분류를 확인한다.