[논문 리뷰] Richardson-Gaudin models and broken integrability

Pieter W. Claeys|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 11.

Quantum many-body systems참고 문헌 28인용 수 9

한 줄 요약

이 학위논문은 적분 가능 기법—특히 바테 앤티츠 방법—을 적분 가능하고 비적분 가능 리처드슨-고딘 모델에 적용하기 위한 프레임워크를 개발한다. 고유값 기반 변수와 행렬식 표현을 활용하여, 비선형 바테 방정식을 풀지 않고도 내적과 상관 함수를 효율적으로 계산할 수 있게 하며, 엄밀한 적분 가능성 외부의 양자 다체계를 연구하는 데 있어 강력한 방법을 제공한다.

ABSTRACT

This thesis presents an introduction to the class of Richardson-Gaudin integrable models, with special focus on the Bethe ansatz wave function, and investigates ways of applying the properties of Richardson-Gaudin models both in and out of integrability. A framework is outlined for the numerical and theoretical treatment of these systems, exposing a duality allowing the Bethe equations to be solved numerically. This is extended to the calculation of inner products and correlation functions. Using this framework, the influence of particle exchange on the Bethe ansatz is discussed, after which it is shown how the Bethe ansatz is able to accurately model wave functions of non-integrable models in two different settings. First, a variational approach is outlined for stationary models where integrability-breaking perturbations are explicitly introduced. Second, an alternative way of breaking integrability is through the introduction of dynamics and periodic driving, where it is shown how integrability can be used to model the resulting Floquet many-body resonances. Throughout this work, it is shown how the clear-cut structure and relatively large freedom in Richardson-Gaudin models makes them ideal for an investigation of the general principles of integrability, as well as being a perfect testing ground for the development of new quantum many-body techniques beyond integrability.

연구 동기 및 목표

• 고유값 기반의 양자수를 사용하여 보존량의 고유값을 통해 고유상태를 이중 매개변수화함으로써 바테 앤티츠 기법의 적용 가능 범위를 엄밀한 적분 가능성 시스템을 초월하여 확장한다.
• 매우 비선형적인 바테 방정식을 수치적으로 풀기 어려운 문제를 해결하기 위해 고유값 기반 변수를 사용함으로써 계산에 더 적합한 변수 체계를 도입한다.
• 비선형 바테 방정식의 해를 명시적으로 알지 못하더라도 바테 상태를 완전히 기술하는 내적과 형상 인자에 대한 행렬식 표현을 수립한다.
• 비적분 가능 시스템, 특히 외부 힘과 교란이 가해진 해밀토니안에서 적분 기반 방법을 변분 도구로 활용한다.
• 주기적인 외부 드라이브와 입자 교환을 통한 적분 가능성 파괴의 역할을 조사하여, 새로운 다체 공명과 상전이를 밝혀낸다.

제안 방법

• 바테 상태의 이중 매개변수화를 도입: 표준 바테 앤티츠 방법의 빠르기 변수 외에 보존량의 고유값을 사용하는 새로운 매개변수화 방식을 제안함으로써, 대체적인 계산 경로를 제공한다.
• 고유값 기반 변수를 사용하여 내적과 상관 함수에 대한 행렬식 표현을 유도함으로써, 비선형 바테 방정식의 해를 구할 필요 없이 계산을 가능하게 한다.
• 이러한 행렬식 표현과 캐시 행렬의 구조 간의 연관성을 규명함으로써 스핀 및 보존적 리처드슨-고딘 모델에 대해 통합된 수학적 프레임워크를 수립한다.
• 가짜 변형 형식을 적용하여 서로 다른 대수 간의 관계를 설정함으로써, 스핀 모델의 결과를 보존 자유도를 가진 모델로 확장할 수 있도록 한다.
• 비적분 가능 시스템에서 바테 상태를 시도파동함수로 사용하는 변분 방법—리처드슨-고딘 구성상호작용 방법(Richardson-Gaudin Configuration-Interaction)—을 개발한다.
• 효율적 플로케트 해밀토니안에 적분 기반 기법을 적용하여 주기적으로 드라이브된 시스템을 분석함으로써, 바테 상태 내 다체 공명을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 바테 방정식을 풀지 않고도 고유값 기반 변수로 리처드슨-고딘 모델의 바테 상태를 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ2 고유값 데이터만을 사용하여 내적과 형상 인자의 행렬식 표현을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 적분 기반 방법이 비적분 가능 양자 다체계에서 얼마나 효과적으로 변분 도구로 활용될 수 있는가?
• RQ4 주기적인 드라이브에 의한 적분 가능성 파괴가 바테 상태의 다체 공명 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 입자 교환과 열 bath에의 결합은 초전도체 시스템의 위상 전이에 어떻게 영향을 미치며, 이러한 현상은 바테 앤티츠 기법으로 어떻게 이해할 수 있는가?

주요 결과

• 고유값 기반 변수는 수치적으로 안정적이고 완전한 바테 상태의 특성화를 가능하게 하며, 빠르기 변수의 해를 명시적으로 구하지 않더라도 내적과 상관 함수의 계산이 가능하다.
• 내적과 형상 인자의 행렬식 표현은 고유값 데이터로부터만 유도되었으며, 캐시 행렬의 구조와 직접적인 연결을 맺어 효율적인 계산이 가능하게 한다.
• 변분 방법인 리처드슨-고딘 구성상호작용 방법은 적분 가능성 파괴 교란이 가해진 핵의 쌍성 페어링 해밀토니안에서도 집단적인 기초 상태와 낮은 에너지의 고excited 상태를 정확하게 모델링한다.
• 드라이브된 시스템에서는 적분 기반 기법이 바테 상태 내 다체 공명을 드러내며, 바테 앤티츠 방법이 플로케트 해밀토니안에서 비평형 동역학을 기술할 수 있음을 보여준다.
• 위상 초전도체가 열 bath와 결합할 경우, 바테 앤티츠 분석을 통해 위상 전이 대신 리드-그린 공명이 발생함을 규명하였다.
• 가짜 변형을 통해 스핀 및 보존적 모델을 포함한 다양한 대수에 일반화 가능하며, 이는 적분 가능 및 근접 적분 가능 시스템에 광범위하게 적용 가능함을 보여준다.