[논문 리뷰] Riemann-Hilbert approach to the modified nonlinear Schröinger equation with non-vanishing asymptotic boundary conditions

Yiling Yang, Engui Fan|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 17.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 45인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 공간 무한대에서 비영인 점점 가속 경계 조건을 갖는 수정된 비선형 슈뢰딩거(mNLS) 방정식에 대해 리emann-힐베르트(RH) 접근법을 개발한다. 스펙트럼 매개변수를 단일값 변수로 매핑하기 위해 이중 시트를 가진 리만 곡면을 도입함으로써, 저자들은 $N$-솔리톤 해를 도출할 수 있는 행렬 RH 문제를 수립한다. 이는 이산 스펙트럼 분포와 비영인 경계 조건이 솔리톤 역학, 특히 이중피크 국소화 파동과 비영인 배경 꼬리에 어떻게 영향을 미치는지를 드러낸다.

ABSTRACT

The modified nonlinear Schrödinger (NLS) equation was proposed to describe the nonlinear propagation of the Alfven waves and the femtosecond optical pulses in a nonlinear single-mode optical fiber. In this paper, the inverse scattering transform for the modified NLS equation with non-vanishing asymptotic boundary at infinity is presented. An appropriate two-sheeted Riemann surface is introduced to map the original spectral parameter $k$ into a single-valued parameter $z$. The asymptotic behaviors, analyticity and the symmetries of the Jost solutions of Lax pair for the modified NLS equation, as well as the spectral matrix are analyzed in details. Then a matrix Riemann-Hilbert (RH) problem associated with the problem of nonzero asymptotic boundary conditions is established, from which $N$-soliton solutions is obtained via the corresponding reconstruction formulae. As an illustrate examples of $N$-soliton formula, two kinds of one-soliton solutions and three kinds of two-soliton solutions are explicitly presented according to different distribution of the spectrum. The dynamical feature of those solutions are characterized in the particular case with a quartet of discrete eigenvalues. It is shown that distribution of the spectrum and non-vanishing boundary also affect feature of soliton solutions. Finally, we analyze the differences between our results and those on zero boundary case.

연구 동기 및 목표

• 비영인 점점 가속 경계 조건 하에서 수정된 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 역산성 변환을 개발하기 위해.
• 스펙트럼 매개변수 변환과 조스트 해를 분석하기 위해 이중 시트 리만 곡면 위에 행렬 RH 문제를 구성하기 위해.
• 비영인 경계 조건을 갖는 mNLS 방정식에 대해 $N$-솔리톤 해를 명시적으로 유도하기 위해, 특히 다양한 스펙트럼 구성이 있는 1- 및 2-솔리톤 케이스를 포함하기 위해.
• 특히 4개의 이산 고유값을 갖는 경우에 솔리톤 해의 역학적 특징을 특성화하기 위해.
• 비영인 경계 조건과 스펙트럼 분포에 의한 솔리톤 행동의 차이를 부각시키기 위해, 결과를 영인 경계 조건 케이스와 비교하기 위해.

제안 방법

• 원래의 스펙트럼 매개변수 $k$ 를 단일값 매개변수 $z$ 로 매핑하기 위해 이중 시트 리만 곡면을 도입하여 조스트 해의 해석적 계속성을 가능하게 한다.
• 복소수 $z$-평면에서 조스트 해와 스펙트럼 행렬의 해석성, 대칭성, 점 渐진적 행동을 분석한다.
• 스펙트럼 경로를 따라의 점프 조건을 기반으로 비영인 경계 조건을 포함한 행렬 RH 문제를 수립한다.
• 스펙트럼 데이터와 위상 함수를 포함하는 행렬식을 통해 RH 문제로부터 재구성 공식을 도출하여 $N$-솔리톤 해를 얻는다.
• 이산 고유값 분포(예: 고유값의 4중세트)와 해당 잔여 데이터를 명시적으로 설정하여 1-솔리톤 및 2-솔리톤 해를 직접 구성한다.
• 타우 조건과 위상 함수 $\theta(x,t,\zeta_j)$ 를 사용하여 해의 일관성을 확보하고 솔리톤 역학을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 무한대에서 비영인 경계 조건을 갖는 수정된 NLS 방정식에 대해 역산성 변환을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이중 시트 리만 곡면은 스펙트럼 매개변수의 다중값성을 해결하고 잘 정의된 RH 문제를 가능하게 하기 위해 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 다양한 이산 고유값 분포(예: 4중세트 대비 쌍)는 $N$-솔리톤 해의 구조와 역학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 비영인 경계 조건은 영인 경계 조건 케이스와 비교해 솔리톤의 형태, 안정성 및 전파 특성에 어떤 방식으로 영향을 미치는가?
• RQ5 비영인 경계 조건 하에서 mNLS 방정식의 $N$-솔리톤 해의 명시적 형태는 무엇이며, $u_\pm \to 0$ 극한에서 기존의 영인 경계 조건 해로 어떻게 축소되는가?

주요 결과

• 비영인 경계 조건을 갖는 mNLS 방정식에 대해 행렬 RH 문제가 성공적으로 수립되었으며, 재구성 공식을 통해 $N$-솔리톤 해를 도출할 수 있었다.
• 두 가지 다른 스펙트럼 구성에 대해 1-솔리톤 해가 명시적으로 구성되었으며, 진동 꼬리 없이 국소화되고 매끄럽고 이중피크 파형을 띠었다.
• 두 가지 경우에 대해 2-솔리톤 해가 도출되었다: 하나는 이산 고유값의 4중세트를 갖는 경우로, 중간 영역이 진동하는 매끄러운 이중피크 파동과 감쇠하는 꼬리를 보였다; 다른 하나는 $N_1=2, N_2=0$ 인 경우로, 비영인 배경 꼬리가 있는 파동을 보였다.
• 그림 10–13의 파동 전파 패tern은 솔리톤이 중간부분에서는 국소적으로 진동하지만 피크에서는 매끄럽고, 스펙트럼 대칭성과 경계 조건에 따라 다릅니다.
• 극한 $u_\pm \to 0$ 에서 유도된 해는 기존의 영인 경계 조건을 갖는 mNLS 방정식의 $N$-솔리톤 해로 축소되며, 이는 이전 결과와의 일관성을 검증한다.
• 이산 고유값의 분포와 비영인 경계 조건은 비영인 배경 꼬리의 존재와 파동 프로파일의 형태와 같은 솔리톤 특성에 중대한 영향을 미친다.