[논문 리뷰] Riemann-Liouville Fractional Einstein Field Equations

Joakim Munkhammar|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 18.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 16인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론의 기하학적 공식화에서 정수계 수식미분을 대체하기 위해 리만-리오빌 분수도수 도함수를 사용하여 아인슈타인 장 방정식의 분수일반화를 제안한다. 이 접근법은 비국소적 장 방정식을 도출하며, 순서 𝛼 = 1일 때 표준 아인슈타인 방정식으로 감소하고, 뉴턴 근사에서 분수일반화된 포아송 방정식을 유도하며, 중력파 방정식을 시간분수도수 확산-파동 방정식으로 일반화하여 비국소적 분수중력 이론 프레임워크를 수립한다.

ABSTRACT

In this paper we establish a fractional generalization of Einstein field equations based on the Riemann-Liouville fractional generalization of the ordinary differential operator $\partial_μ$. We show some elementary properties and prove that the field equations correspond to the regular Einstein field equations for the fractional order $α= 1$. In addition to this we show that the field theory is inherently non-local in this approach. We also derive the linear field equations and show that they are a generalized version of the time fractional diffusion-wave equation. We show that in the Newtonian limit a fractional version of Poisson's equation for gravity arises. Finally we conclude open problems such as the relation of the non-locality of this theory to quantum field theories and the possible relation to fractional mechanics.

연구 동기 및 목표

• 리만-리오빌 분수도수 도함수를 사용하여 일반 상대성 이론의 분수확장법을 개발하기 위해.
• 분수도수 도함수의 기억 효과로 인해 발생하는 결과 장 방정식의 비국소성 성질을 조사하기 위해.
• 선형화된 장 방정식을 유도하고, 이를 분수확산-파동 방정식과의 관계를 보여주기 위해.
• 뉴턴 근사에서 중력에 대한 분수일반화된 포아송 방정식을 도출하기 위해.
• 비국소성과 양자장론 또는 분수역학 간의 잠재적 연결 고리를 밝혀내기 위해.

제안 방법

• 일반 상대성 이론의 기하학적 공식화에서 표준 편도함수 ∂_μ 대신 순서 𝛼 ∈ (0,1)의 리만-리오빌 분수도수 도함수를 사용한다.
• 메트릭 접속에서 분수도수 도함수 연산자를 사용하여 분수크리스토펠 기호와 리만 곡률 텐서를 정의한다.
• 분수리만 텐서로부터 리치 텐서와 스칼라를 구성함으로써 분수아인슈타인 장 방정식을 도출한다.
• g_μν = η_μν + h_μν로 가정하여 h_μν에 대해 일阶 선형화함으로써, 소스가 있는 분수파동 방정식을 도출한다.
• 선형화된 방정식을 단순화하기 위해 분수로렌츠 유사 게이지 조건을 적용하여 ∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = (8πG/c⁴) T_μν(γ)를 얻는다.
• 느린 운동과 정적 필드를 가정함으로써 뉴턴 근사를 수행하여, 장 방정식의 00성분을 통해 분수포아송 방정식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리오빌 분수도수 도함수를 어떻게 사용하여 아인슈타인 장 방정식의 미분연산자를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 결과로 도출된 분수중력 이론에서 비국소성의 성격은 무엇이며, 𝛼가 1에 가까워질 때조차도 지속되는가?
• RQ3 선형화된 장 방정식은 시간분수도수 확산-파동 방정식과 같은 알려진 분수편미분방정식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 분수장 방정식의 뉴턴 근사는 중력에 대한 분수버전의 포아송 방정식을 재현하는가?
• RQ5 이 이론의 비국소성과 양자장론 또는 분수역학 간의 잠재적 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 분수장 방정식은 분수순서가 𝛼 = 1일 때 표준 아인슈타인 장 방정식으로 감소하여 일반 상대성 이론과의 일관성을 확인한다.
• 리만-리오빌 분수도수 도함수의 비국소성으로 인해 이 те오리가 본질적으로 비국소적이다. 이는 메트릭 함수의 전체 역사를 의존하기 때문이다.
• 선형화된 영역에서 장 방정식은 ∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = (8πG/c⁴) T_μν(γ)가 되며, 중력전기역학과 유사한 일반화된 분수파동 방정식이 된다.
• 에너지-운동량 텐서가 0일 경우 선형화된 방정식은 ∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = 0이 되며, 이는 확산-파동 방정식의 분수일반화이다.
• 뉴턴 근사에서 장 방정식의 00성분은 ∂^γ_i ∂^γ_i ϕ ≈ 4πGρ(γ)를 도출하며, 이는 ρ(γ)가 분수물질 밀도인 분수포아송 방정식이다.
• 분수포아송 방정식은 𝛾 = 1일 때 고전적 ∇²ϕ = 4πGρ로 감소하여 올바른 고전적 극한임을 확인한다.