[논문 리뷰] Riemannian Foliations and the Topology of Lorentzian Manifolds

Kordian Lärz|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 11.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평행한 빛처럼 생긴 벡터장이 있는 루체프시안 다양체의 위상구조를 조사하며, 이러한 구조가 코디멘션 1의 리만형 폴로노미에를 유도함을 보여준다. 비음성 전방 Ricci 곡률과 컴팩트성 조건 하에서 첫 번째 베티 수에 대한 날카로운 경계를 설정한다: 컴팩트한 다양체의 경우 $1 \leq b_1 \leq \dim X$이고, 비콤팩트한 경우 $0 \leq b_1 \leq \dim X - 1$이며, 이 경계들은 최적임을 증명한다. 추가로, 유한 기본군을 가진 컴팩트 리브에 대한 호로노미 표현을 분류한다.

ABSTRACT

A parallel lightlike vector field on a Lorentzian manifold $X$ naturally defines a foliation $\mathcal{F}$ of codimension one. If either all leaves of $\mathcal{F}$ are compact or $X$ itself is compact admitting a compact leaf and the (transverse) Ricci curvature is non-negative then a Bochner type argument implies that the first Betti number of $X$ is bounded by $1 \leq b_{1} \leq \dim X$ if $X$ is compact and $0 \leq b_{1} \leq \dim X -1$ otherwise. We show that these bounds are optimal and depending on the holonomy of $X$ we obtain further results. Finally, we classify the holonomy representations for those $X$ admitting a compact leaf with finite fundamental group.

연구 동기 및 목표

• 평행한 빛처럼 생긴 벡터장을 가진 루체프시안 다양체의 위상적 제약 조건을 분석하는 것.
• 콤팩트성과 비음성 전방 Ricci 곡률 조건 하에서 첫 번째 베티 수 $b_1$에 대한 날카로운 경계를 설정하는 것.
• 유한 기본군을 가진 컴팩트 리브를 가진 시공간의 호로노미 표현을 분류하는 것.
• pp-wave 및 적절한 시공간의 맥락에서 폴로노미 이론, 호로노미, 루체프시안 기하학 간의 상호작용을 탐색하는 것.

제안 방법

• 논문은 평행한 빛처럼 생긴 부분다양체 $\Xi$의 직교보조공간에서 유도된 표준 스크린 배ndl $\mathcal{S}$를 사용하며, 여기에 유도된 리만형 메트릭과 접속이 부여된다.
• 그리고 $\Xi$의 직교 분포를 통해 코디멘션 1의 폴로노미 $\mathcal{X}^\perp$를 정의하고, 그 기본 코homology $H^k_B(\mathcal{X}^\perp)$를 연구한다.
• 전방 Ricci 곡률과 스크린 배ndl의 호로노미에 대해 보처 유형의 추론을 적용하여 베티 수를 제약한다.
• Gysin 수열과 Mayer-Vietoris 추론을 사용하여 폴로노미의 코homology를 다양체의 전반적 코homology와 연결한다.
• 복소 구조에 대해, 논문은 $\nabla^S$-평행한 거의 헬름하르트 구조와 완전한 벡터장 $Z$를 사용하여 유니버설 커버 위에 원뿔 메트릭과 거의 헬름하르트 구조를 구성한다.
• 만일 $d(g^L(Z,\cdot))|_{\mathcal{L}^\perp} \in \Lambda^{1,1}_B\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}$이면 거의 복소 구조의 적분 가능성을 확인하기 위해 니젠후스 텐서가 0임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평행한 빛처럼 생긴 벡터장과 비음성 전방 Ricci 곡률 조건을 가진 루체프시안 다양체에 대한 위상적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ2 다양체 또는 그 리브에 대한 콤팩트성 가정은 시공간의 베티 수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 수평적 시공간이 유니버설 커버 위에 복소 구조를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이러한 시공간에서 유한 기본군을 가진 컴팩트 리브에 대한 호로노미 표현은 어떻게 분류되는가?
• RQ5 폴로노미의 기본 코homology 군은 막대한 다양체의 특이 코homology와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 주어진 곡률과 콤팩트성 조건 하에서, 다양체가 컴팩트이면 $1 \leq b_1 \leq \dim X$이고, 그렇지 않으면 $0 \leq b_1 \leq \dim X - 1$임을 만족한다.
• 이 $b_1$에 대한 경계들은 논문에서 명시적인 구성으로 최적임을 입증한다.
• 콤팩트한 $X$에 대해 $b_2(X) \leq \dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}) + 1$이고, 컴팩트 리브를 가진 비콤팩트한 $X$에 대해 $b_2(X) \in \{\dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}) - 1, \dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp})\}$이다.
• 스크린 배ndl의 호로노미가 $SU(n)$이고 $n \geq 3$이면, $b_2(X)$의 경계에서 $\dim H^2_B$를 $\dim H^{1,1}_B$로 대체할 수 있다.
• 스크린 배ndl의 호로노미가 $Sp(n)$이고 $n \geq 1$이면, $\dim H^2_B$는 $\dim H^{1,1}_B + 2$로 대체된다.
• 만일 $d(g^L(Z,\cdot))|_{\mathcal{L}^\perp} \in \Lambda^{1,1}_B\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}$이면서 $Z$가 완전한 경우, $X$의 유니버설 커버는 복소 구조를 가진다.