[논문 리뷰] Riemannian foliations of projective space admitting complex leaves

Thomas Murphy|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 27.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 사영 공간 ℙⁿ의 복소 잎을 가진 리만 폴로노미아를 조사하며, ℙⁿ의 어떤 열린 부분집합에도 복소 리만 폴로노미아가 존재하지 않음을 증명한다. 복소 부분다양체는 최대 차원의 리만 폴로노미아에서만 특이 잎으로 나타날 수 있으며, 이는 엄격한 기하 조건을 만족할 때에만 가능하다. 특히, 그것이 전체 지오데식 ℙᵏ 또는 복소 2차곡선 Qⁿ⁻¹와 등장할 때에만 가능하다. 이는 튜브근처 이론 분석과 곡률의 폭발 증거를 통해 입증된다.

ABSTRACT

Motivated by Gray's work on tube formulae for complex submanifolds of complex projective space equipped with the Fubini-Study metric, Riemannian foliations of projective space are studied. We prove that there are no complex Riemannian foliations of any open subset of $\mathbb{P}^n$ of codimension one. As a consequence there is no Riemannian foliation of the projective plane by Riemann surfaces, even locally. We determine how a complex submanifold may arise as an exceptional leaf of a non-trivial singular Riemannian foliation of maximal dimension. Gray's tube formula is applied to obtain a volume bound for certain holomorphic curves of complex quadrics.

연구 동기 및 목표

• ℙⁿ의 특이 리만 폴로노미아를 복소 잎을 갖는 것으로 분류하는 것.
• ℙⁿ의 헬로모르픽 폴로노미아가 열린 부분집합에서 리만적일 수 있는지 판단하는 것.
• 최대 차원 리만 폴로노미아에서 어떤 복소 부분다양체가 특이 잎으로 나타날 수 있는지 특성화하는 것.
• 그레이의 튜브근처 이론 공식을 적용하여 복소 2차곡선 내 헬로모르픽 곡선의 부피를 유계화하는 것.

제안 방법

• 잎에 수직인 지오데식을 沿해 자코비 장 분석을 통해 주곡률을 연구하기 위해 리만 폴로노미아 이론을 사용한다.
• 그레이의 튜브근처 이론 공식을 적용하여 복소 부분다양체 주위의 튜브근처 부피를 계산한다.
• 지오데식 정규 단면을 따라 주곡률 함수의 곡률 폭발을 리카티 방정식을 통해 분석한다.
• 초점 집합이 서로 이격되어 있고 임베딩되어 있어야 한다는 조건을 적용하여 특이 잎 사이의 거리에 대한 제약을 이끌어낸다.
• 복소 구조의 호환성 조건이 부분다양체의 주곡률 값에 대해 특정한 값(±1, 0)을 강제한다는 사실을 적용한다.
• 주곡률 함수 Cot(θ − r)가 θ = π/2가 아닐 경우 r = π/4에서 폭발해야 하므로 이를 통해 분류를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 잎을 가진 ℙⁿ의 정규 리만 폴로노미아가 차원 수 1에서 존재할 수 있는가?
• RQ2 ℙⁿ의 어떤 복소 부분다양체가 최대 차원 리만 폴로노미아에서 특이 잎으로 나타날 수 있는가?
• RQ3 어떤 기하 조건에서 복소 부분다양체가 ℙⁿ의 리만 폴로노미아의 초점 집합이 될 수 있는가?
• RQ4 튜브근처 이론 공식으로부터 복소 2차곡선 내 헬로모르픽 곡선의 부피 유계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 닫힌 다양체에서의 결과들과 유사한 복소 리만 폴로노미아에 대한 강성 결과가 ℙⁿ의 열린 부분집합에서 존재하는가?

주요 결과

• ℙⁿ의 어떤 열린 부분집합에도 차원 수 1의 복소 리만 폴로노미아가 존재하지 않으며, 이는 리만 표면으로서의 사영 평면에 대해 이러한 폴로노미아의 존재를 배제한다.
• 복소 부분다양체는 ℙⁿ의 최대 차원 리만 폴로노미아에서 특이 잎으로 나타날 수 있으며, 이는 그것이 전체 지오데식 ℙᵏ 또는 복소 2차곡선 Qⁿ⁻¹와 등장할 때에만 가능하다.
• 이러한 폴로노미아에서 특이 잎 사이의 거리는 정확히 π/2여야 하며, 주곡률 함수는 r = π/4에서 폭발해야 하므로 특정 곡률 값을 강제한다.
• 복소 부분다양체의 주곡률가 0이 아니면, 그 값은 반드시 ±1 또는 0여야 하며, 이는 일정한 주곡률를 의미하며, 김우마의 목록에 따라 이를 분류할 수 있다.
• r < π/4일 때, 헬로모르픽 구 Γ(ℙ¹)의 튜브근처 부피는 복소 2차곡선 Qⁿ⁻¹의 부보다 엄격히 작으며, r → π/4일 때 극한에서 등호가 성립한다.
• 튜브근처 이론 공식으로 도출된 부피 유계는 r → π/4일 때 다음을 만족한다: Vol(Γ(ℙ¹)) < (π/n) × [(1 − (1 − 2sin²r)ⁿ) / (sin²r)ⁿ⁻¹ − (n+1)/n × (sin²r)ⁿ].