[논문 리뷰] Riemannian geometry in infinite dimensional spaces

László Lempert|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한차원이 아닌 국소적으로 볼록한 공간에서 리만 기하학의 기초 도구를 수립한다. 주로 리만 계량, 리베이-시비타 접속, 곡률, 지측선을 다루며, 지측선 원판 내의 작은 원의 길이에 대해 $2\pi r(1 - Kr^2/6 + o(r^2))$ 라는 표현을 유도한다. 여기서 $K$는 단면 곡률이며, 카플러 계량 공간에서 등장하는 등장의 연구에 핵심적인 분석 도구를 제공한다.

ABSTRACT

We lay foundations of the subject in the title, on which we build in another paper devoted to isometries in spaces of Kähler metrics.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 국소적으로 볼록한 공간에서 바나흐 또는 힐버트 다양체의 프레임워크에 의존하지 않고 리만 기하학적 구조—계량, 접속, 곡률, 지측선—를 개발하는 것.
• 카플러 기하학에 응용하기 위해 필수적인 $C^1$ 및 $C^2$ 사상 하에서 기하 개념의 엄밀한 변환 규칙을 제공하는 것.
• 특히 리베이-시비타 접속의 $C^3$ 정규성 조건 하에서, 자코비 장과 곡률의 행동을 정당화하는 것.
• 지측선 원판 내의 작은 원의 길이에 대한 점근적 전개를 유도하여 곡률과 기하 불변량을 연결하는 것.

제안 방법

• 국소적으로 볼록한 공간의 열린 부분집합에서 방향 도함수와 미분의 연속성을 이용해 $C^k$ 미적분을 정의한다.
• 표준 미분기하학 연산을 가능하게 하기 위해 $C^1$ 곡선의 동치류를 통해 접속다발 $T\Omega$ 를 $\Omega \times V$ 와 동치로 간주한다.
• $C^1$ 및 $C^2$ 정규성 조건 하에서 코스룰 공식을 통해 리베이-시비타 접속을 도입함으로써 계량 호환성과 비틀림 없음을 보장한다.
• 지측선을 따라 두 번째 순서 상미분방정식 $D^2_{\dot{x}}\varphi = R(x,\dot{x},\varphi)\dot{x}$ 의 해로 자코비 장을 정의한다.
• 지측선 원판 내의 원형 곡선의 길이를 계산하기 위해 계량 $g(x(t),\varphi(t),\varphi(t))$ 의 네 계수까지의 테일러 전개를 사용한다.
• 사슬 법칙과 $t=0$ 에서 곡률 평가를 적용하여 길이 공식의 주요 보정 항 $-Kr^2/6$ 을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 국소적으로 볼록한 공간에서 바나흐 또는 힐버트 다양체의 프레임워크에 의존하지 않고 리만 기하학을 일관되게 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 이 설정에서 $C^1$ 및 $C^2$ 사상 하에서 리만 기하학적 대상의 변환 규칙은 무엇인가?
• RQ3 무한차원 리만 기하 공간에서 자코비 장은 어떻게 행동하는가? 그리고 그 정규성은 어떤 조건에서 보장되는가?
• RQ4 이러한 공간에서 지측선 원판 내의 작은 원의 길이의 점근적 행동은 무엇이며, 곡률과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 계량 $g(x,\xi,\eta)$ 의 두 번째 도함수가 0이 되는 조건은 무엇인가? 이때 $D_{\dot{x}}\xi = 0$ 이 성립하는가?

주요 결과

• 지측선 원판 내 곡선 $\theta \mapsto e(r\cos\theta, r\sin\theta)$ 의 길이는 $r \to 0$ 일 때 점근적으로 $2\pi r(1 - Kr^2/6 + o(r^2))$ 가 된다. 여기서 $K$ 는 단면 곡률이다.
• 지측선을 따라 $C^3$ 정규성 조건 하에서 자코비 장은 상미분방정식 $D^2_{\dot{x}}\varphi = R(x,\dot{x},\varphi)\dot{x}$ 를 만족하며, 초기 조건은 테일러 전개를 통해 계산할 수 있다.
• 모든 자코비 장 $\eta$ 가 $\tau$ 에서 0이 되는 조건 하에서, $t=\tau$ 에서 $g(x(t),\xi(t),\eta(t))$ 의 두 번째 도함수가 0이 되는 것은 $D_{\dot{x}}\xi(\tau) = 0$ 이며, $\dot{\eta}(\tau)$ 가 $V$ 에 밀도를 이룰 때에만 성립한다.
• 곡률 항 $R(v,\xi,\eta)\xi$ 는 계량 $h(t) = g(x(t),\varphi(t),\varphi(t))$ 의 네 번째 도함수에 기여하며, $\varphi(0) = 0$, $D_{\dot{x}}\varphi(0) = \eta$, $\xi, \eta$ 가 정규직교일 때 $h^{(4)}(0) = -8K$ 가 된다.
• 계량의 $r^4$ 차수까지의 테일러 전개를 통해 $h(r) = g(x(r),\varphi(r),\varphi(r))$ 를 계산하면 $h(r) = r^2(1 - Kr^2/3 + o(r^2))$ 가 되며, 이는 길이 공식을 이끌어낸다.
• 이 결과는 지수 사상 $e$ 의 $C^5$ 정규성, 리베이-시비타 접속의 $C^3$ 정규성, 계량 $g$ 의 $C^1$ 정규성을 바탕으로 한다.