[논문 리뷰] Riemannian Geometry of Optimal Rebalancing in Dynamic Weight Automated Market Makers

Matthew Willetts|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 05.

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한 줄 요약

동적 가중치 AMM에서의 단계별 차익 손실은 연속 가중 벡터 간의 KL 발산이며, 가중치 단순체 위의 피셔-라오 메트릭이 자연스러운 해석이다; Hellinger 좌표에서의 SLERP가 중간점이 AM+GM/normalise 휴리스틱과 일치하는 선도적 최적 재조정 경로를 제공한다.

ABSTRACT

In Temporal Function Market Making (TFMM), a dynamic weight AMM pool rebalances from initial to final holdings by creating a series of arbitrage opportunities whose total cost depends on the weight trajectory taken. We show that the per-step arbitrage loss is the KL divergence between new and old weight vectors, meaning the Fisher--Rao metric is the natural Riemannian metric on the weight simplex. The loss-minimising interpolation under the leading-order expansion of this KL cost is SLERP (Spherical Linear Interpolation) in the Hellinger coordinates $η_i = \sqrt{w_i}$, i.e. a geodesic on the positive orthant of the unit sphere traversed at constant speed. The SLERP midpoint equals the (AM+GM)/normalise heuristic of prior work (Willetts & Harrington, 2024), so the heuristic lies on the geodesic. This identity holds for any number of tokens and any magnitude of weight change; using this link, all dyadic points on the geodesic can be reached by recursive AM-GM bisection without trigonometric functions. SLERP's relative sub-optimality on the full KL cost is proportional to the squared magnitude of the overall weight change and to $1/f^2$, where $f$ is the number of interpolation steps.

연구 동기 및 목표

• 상수 가격과 확률적 가격 하에서 동적 가중치 AMM에서의 가중치 재조정에 따른 차익 비용을 동기부여하고 형식화한다.
• 피셔-라오 메트릭과 KL 발산을 통해 가중치 단순체의 자연스러운 리만 기하 구조를 특징지운다.
• 가중치 단순체에서의 선도 차수 최적 보간으로 SLERP를 도출하고 이를 기존의 AM+GM/normalise 휴리스틱과 연결한다.
• 정확한 SLERP 궤적은 제곱의 거듭제곱 스텝 수에 대해 삼각함수 없이 재귀 이분법으로 계산할 수 있음을 보인다.
• 드리프트 없는 GBM 가격으로 프레임워크를 확장하고 LVR 노출이 최적 단계 수에 어떤 영향을 미치는지 분석한다.

제안 방법

• 단계당 차익 손실을 연속 가중 벡터 간의 KL 발산으로 모델링한다(정리 2).
• 피셔–라오 메트릭을 가중치 단순체의 리만 기하 구조로 사용하고 헬링거 임베딩을 적용하여 단위 구면으로 매핑한다(η = sqrt(w)).
• 선도 차수의 손실 최소화 보간이 Hellinger 좌표의 SLERP임을 증명한다(결론 5).
• SLERP의 중간점이 정확히 (AM+GM)/normalise 중간점과 일치함을 보인다(정리 6).
• 제곱수 스텝 수에서 삼각함수 없이 SLERP 궤적을 계산하는 재귀 이분법을 도출한다(결론 7).
• 드리프트없는 GBM 가격으로 확장하고 보유비율의 가격 독립성과 경로 최적화 결과를 입증한다(제안 1–2; 결론 0).
• LVR을 퍼텐셜로 포함하는 수정된 고유한 기하 경로 문제를 형식화하고 재조정 비용과 LVR 노출의 균형에 의해 최적 스텝 수 f*를 도출한다(§5의 제안 0).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 가중치 AMM의 재조정 시 차익 비용 아래에 놓인 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ2 Hellinger 임베딩에서의 SLERP가 가중치 변화에 대한 선도 차수 최적 보간을 제공할 수 있는가, 그리고 그것이 (AM+GM)/normalise 휴리스틱과 어떤 관련이 있는가?
• RQ3 가격 동역학(드리프트 없는 GBM)이 최적 재조정 경로와 스텝 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 재조정에서 LVR 노출이 최적 보간 단계 수에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 삼각함수 없이 체인에서 SLERP 경로를 효율적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 단계당 차익 손실은 연속 가중 벡터 간의 KL 발산이며, 가중치 단순체 위의 자연 기하학은 피셔–라오 메트릭이다.
• 선도 차수 손실 최소화 보간은 Hellinger 좌표의 SLERP이며, 단위 구의 양의 사분면에서 일정 속도의 해지오데직에 해당한다.
• SLERP의 중간점은 토큰 수와 가중치 변화 크기에 관계없이 정확히 (AM+GM)/normalise 중간점과 일치한다.
• 제곱수 스텝 수에서 SLERP 궤적은 재귀 이분법으로 삼각함수 없이 계산될 수 있다.
• SLERP의 정확한 KL 비용에 대한 부분 최적성은 O(Omega^2/f^2)로 경계되며 f가 커질수록 0에 수렴하고, 수치적으로는 실용적인 작은 차이가 관찰된다.
• 드리프트 없는 GBM 가격 하에서 보유비율은 가격에 의존하지 않으며 교차항이 시계열적으로 소거되어 재조정 비용에 대한 핵심 결과를 유지한다.
• LVR 노출은 재조정 비용과 변동성 노출의 균형을 맞춰 유한한 최적 스텝 수 f*를 도입한다; 최적 f*에서의 총 비용은 Omega와 bar{ell} (LVR 속도)에 비례하여 스케일한다.