[논문 리뷰] Riemannian geometry on the quantomorphism group

David G. Ebin, Stephen C. Preston|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중구조 M 위의 접속 형식 θ를 보존하는 미분형식의 군인 quantomorphism 군 π_q(M)의 리만 기하학을 수립한다. 여기서 리만 계량을 정의하고, 지오데식 방정식을 유도하며, 소볼레프 공간에서 초기 조건에 대한 전역 존재성과 매끄러운 의존성을 증명한다. 주요 기여는 지오데식 방정정식이 특수한 경우인 S^3 위에서 단순화된 준지구학 방정식으로 축소됨을 보이고, S^2 위의 전체 준지구학 방정식이 리 대수의 중심 확장 위에서의 옐러-아르놀드 방정식으로 나타남을 밝혀낸 것이다. 이 경우에도 동일한 정(regularity) 조건 하에서 전역 해가 유지됨을 보였다.

ABSTRACT

We are interested in the geometry of the group $\mathcal{D}_q(M)$ of diffeomorphisms preserving a contact form $θ$ on a manifold $M$. We define a Riemannian metric on $\mathcal{D}_q(M)$, compute the corresponding geodesic equation, and show that solutions exist for all time and depend smoothly on initial conditions. In certain special cases (such as on the 3-sphere), the geodesic equation is a simplified version of the quasigeostrophic equation, so we obtain a new geodesic interpretation of this geophysical system. We also show that the genuine quasigeostrophic equation on $S^2$ can be obtained as an Euler-Arnold equation on a one-dimensional central extension of $T_{\id}\mathcal{D}_q(M)$, and that our global existence result extends to this case. If $E$ is the Reeb field of $θ$ and $μ$ is the volume form, assumed compatible in the sense that $ ext{div} E=0$, we show that $\mathcal{D}_q(M)$ is a smooth submanifold of $\mathcal{D}_{E,μ}(M)$, the space of diffeomorphisms preserving the vector field $E$ and the volume form $μ$, in the sense of $H^s$ Sobolev completions. The latter manifold is related to symmetric motion of ideal fluids. We further prove that the corresponding geodesic equations and projections are $C^{\infty}$ objects in the Sobolev topology.

연구 동기 및 목표

• quantomorphism 군 $\mathcal{D}_q(M)$, 즉 접속 형식 $\theta$ 를 보존하는 미분형식의 군의 리만 기하학을 개발한다.
• 소볼레프 완비화의 맥락에서 $\mathcal{D}_q(M)$ 위에 리만 계량을 정의하고, 이에 대응하는 지오데식 방정식을 유도한다.
• $H^s$ 소볼레프 위상에서 지오데식 흐름에 대한 전역 존재성과 초기 조건에 대한 매끄러운 의존성을 확립한다.
• 지오데식 방정식이 특수한 경우, 예를 들어 S^3 위에서 단순화된 준지구학 방정식으로 축소됨을 보이고, S^2 위의 전체 준지구학 방정식이 리 대수의 중심 확장 위에서의 옐러-아르놀드 방정식과 관련됨을 밝힌다.
• Reeb 장 E와 체적 형식 μ를 보존하는 체적형식군 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 내에서 $\mathcal{D}_q(M)$ 가 $H^s$ 위상에서 매끄러운 부분다양체임을 증명한다.

제안 방법

• 체적 형식 $\mu = \theta \wedge (d\theta)^n$ 에 대한 $L^2$ 내적을 사용하여, 접속 분포에 접하는 벡터장의 리 대수 $\mathfrak{X}_q(M)$ 에서 리만 계량을 정의한다.
• 옐러-아르놀드 형식론을 통해 지오데식 방정식을 유도하며, $S_\theta f$ 를 $f$ 와 관련된 해밀토니언 벡터장으로 정의하고, $\partial_t S_\theta f + \nabla_{S_\theta f} S_\theta f = -\nabla \Delta_\theta f$ 로 표현한다.
• 소볼레프 에너지 추정을 사용하여 $\|\Delta_\theta f\|_{H^{s-1}}$ 를 추정하고, 커mutator 추정과 $\|S_\theta f\|_{C^1}$ 의 유계성에 기반해 $H^s$ 에서 균일한 통제와 전역 존재성을 확보한다. 이는 $s > \dim M/2 + 1$ 인 경우에 성립한다.
• 함수 $\varphi$ (예: S^2 위의 높이 함수) 를 사용하여 리 대수 $T_{\text{id}}\mathcal{D}_q(M)$ 의 1차원 중심 확장을 구성함으로써, 전체 준지구학 방정식을 옐러-아르놀드 방정식으로 모델링한다.
• $\mathcal{D}_q(M)$ 가 Reeb 장 $E$ 와 체적 형식 $\mu$ 를 모두 보존하는 조건 $\operatorname{div} E = 0$ 하에서 $H^s$ 위상에서 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 의 매끄러운 부분다양체임을 증명한다.
• 지오데식 방정식과 투영이 소볼레프 위상에서 $C^\infty$ 대상임을 보이기 위해, 고차 소볼레프 노름에서의 유일성과 근사에 기반해 $C^\infty$ 초깃값이 $C^\infty$ 지오데식을 유도함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 quantomorphism 군 $\mathcal{D}_q(M)$ 에서 일관적으로 리만 계량을 정의할 수 있으며, 이 기하학에서 유도된 지오데식 방정식은 무엇인가?
• RQ2 지오데식 방정식이 소볼레프 공간 $H^s$ 에서 전역 존재성과 초기 조건에 대한 매끄러운 의존성을 보이는가?
• RQ3 특정 계량 하에서, S^3 위의 지오데식 흐름이 단순화된 준지구학 방정식으로 축소되는가?
• RQ4 S^2 위의 전체 준지구학 방정식이 $\mathcal{D}_q(M)$ 의 리 대수의 중심 확장 위에서의 옐러-아르놀드 방정식으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 $\mathcal{D}_q(M)$ 가 Reeb 장과 체적 형식을 보존하는 체적형식군 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 의 $H^s$ 위상에서 매끄러운 부분다양체인가?

주요 결과

• $\mathcal{D}_q(M)$ 위의 지오데식 방정식은 $s > \dim M/2 + 1$ 인 $H^s$ 소볼레프 공간에서 전역적으로 잘 정의되며, 모든 시간에 걸쳐 해가 존재하고 초기 조건에 대해 매끄럽게 의존한다.
• S^3 에서 베르거 계량을 사용할 경우, 지오데식 방정식은 단순화된 준지구학 방정식 $(\Delta f - \alpha^2 f)_t + \{f, \Delta f\} = 0$ 으로 축소되며, 이는 천체물리학적 모델에 새로운 기하학적 해석을 제공한다.
• S^2 위의 전체 준지구학 방정식 $(\Delta f - \alpha^2 f)_t + \{f, \Delta f - \beta \cos\theta\} = 0$ 은 $T_{\text{id}}\mathcal{D}_q(M)$ 의 1차원 중심 확장 위에서의 옐러-아르놀드 방정식으로 나타나며, 확장 매개변수는 코리olis 계수 $\beta$ 와 연결되어 있다.
• 전체 준지구학 방정식의 전역 존재성은 단순화된 경우에 사용된 에너지 추정 기법을 확장함으로써 확립되었으며, 잠재 회전율 $\Delta_\theta f - \alpha^2 f - \beta \cos\theta$ 의 균일한 유계성에 기반한다.
• $\operatorname{div} E = 0$ 인 조건 하에서 $\mathcal{D}_q(M)$ 는 $H^s$ 위상에서 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 의 매끄러운 부분다양체이며, 포함 사상은 $C^\infty$ 이다.
• $C^\infty$ 초깃값에서 출발하는 지오데식은 고차 소볼레프 노름에서의 유일성과 근사에 기반해 모든 시간에 걸쳐 $C^\infty$ 이며, 이는 $C^\infty$ 위상에서 흐름의 매끄러움을 확인한다.