[논문 리뷰] Riemannian $\mathbf{(1+d)}$-Dim Space-Time Manifolds with Nonstandard Topology which Admit Dimensional Reduction to Any Lower Dimension and Transformation of the Klein-Gordon Equation to the $\mathbf{1}$-Dim Schrödinger Like Equation

Plamen Fiziev|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 16.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비표준 위상수학적 구조와 변동하는 콪 pactification 반지름을 가진 (1+d)차원 리만 공간-시간 다양체를 제안하며, 이는 임의의 낮은 차원 d_low = 1,2,…,d−1로의 차원 축소를 가능하게 한다. 기하학을 효과적 퍼텐셜로 변환함으로써 클라인-고르든 방정식은 1차원 슈뢰딩거 유사 방정식으로 간소화되며, 이는 4차원 관측 가능한 우주에서 고차원 및 저차원의 물리적 신호를 연구할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

This rather technical paper presents some generalization of the results of recent publications \cite{Shirkov2010, DVPF2010, PFDV2010} where toy models of dimensional reduction of space-time were considered. Here we introduce and consider a specific type of multidimensional space-times with nontrivial topology and nontrivial Riemannian metric, which admit a reduction of the dimension $d$ of the space to any lower one $d_{low} = 1, 2,..., d-1$. The variable geometry is described by several variable radii of compactification of part of space dimensions. We succeed once more in transforming the shape of the variable geometry of the $d$-dimensional spaces under consideration to a specific potential interaction, described by the potential $V$ in the one-dimensional Schrödinger-like equation. This way one may hope to study the possible physical signals going from both higher and lower dimensions into our obviously four dimensional real world.

연구 동기 및 목표

• 비표준 위상수학적 구조를 가진 (1+d)-차원 리만 공간-시간 다양체를 구성하여 임의의 낮은 차원으로의 차원 축소를 가능하게 한다.
• 비콤팩트화된 좌표 z에 따라 의존하는 변동하는 콱 pactification 반지름 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)를 모델링하여 동적 차원 축소를 가능하게 한다.
• 고차원 공간의 기하학적 구조를 1차원 슈뢰딩거 유사 방정식의 효과적 퍼텐셜로 변환한다.
• 이 기하학-퍼텐셜 매핑을 통해 4차원 관측 가능한 우주에서 고차원 및 저차원의 물리적 신호를 연구할 수 있도록 한다.
• 이전의 단순 모델을 일반화하여 임의의 d ≥ 3인 다양체의 더 넓은 범주로 차원 축소 이론을 확장한다.

제안 방법

• t, z 및 각도 변수 φ₁,…,φ_{d−1}를 포함하는 평탄한 (1+5)-차원 의사유클리드 공간 내에서의 초표면으로서 (1+d)-차원 다양체를 정의하며, 반지름은 각각 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)로 표현한다.
• 유도된 (1+d)-차원 리만 계량을 도출하여, 이가 변동하는 반지름과 그 도함수에 의존함을 보인다.
• d차원 라플라스 연산자를 분리 가능한 형태로 단순화하기 위해 새로운 좌표 u(z) = ∫ [ρ_d(z)/(ρ₁(z)…ρ_{d−1}(z))] dz 를 도입한다.
• 클라인-고르든 방정식에 대해 변수 분리법을 적용하여, 반경 방향 부분을 기하학적 구조와 곡률에서 유도된 효과적 퍼텐셜 V(u)를 가진 1차원 슈뢰딩거 유사 방정식으로 줄인다.
• 효과적 퍼텐셜 V(u)를 반지름 ρ₁(u), ..., ρ_{d−1}(u), 그 도함수, 질량 및 주파수 매개변수의 함수로 표현한다.
• 고차원 스칼라 곡률 R^{(1+d)}를 사용하여 등각 불변 클라인-고르든 방정식(CIKGE)을 구성하며, 비교를 위한 두 번째 퍼텐셜 V_c(u)를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 위상수학적 구조와 변동하는 콱 pactification 반지름 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)를 가진 (1+d)-차원 리만 다양체가 임의의 낮은 차원 d_low = 1,2,…,d−1로의 차원 축소를 가능하게 하는가?
• RQ2 이러한 다양체의 기하학적 구조는 1차원 슈뢰딩거 유사 방정식의 효과적 퍼텐셜로 어떻게 매핑될 수 있는가?
• RQ3 변동 기하학적 구조에서 유도된 감소된 1차원 방정식의 효과적 퍼텐셜 V(u)의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 반지름 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)가 z에 따라 변할 때 d차원 공간의 스칼라 곡률 R^{(d)}는 여전히 비영인가?
• RQ5 이 틀 안에서 등각 불변 클라인-고르든 방정식을 구성할 수 있으며, 그 효과적 퍼텐셜 V_c(u)는 무엇인가?

주요 결과

• 일부 반지름 ρ_μ(z) → 0으로 수렴하는 극한을 취함으로써 (1+d)-차원 다양체는 임의의 낮은 차원 d_low = 1,2,…,d−1로의 차원 축소를 허용한다.
• 좌표 u(z)를 통해 d차원 라플라스 연산자가 ϱ₁(u), ..., ϱ_{d−1}(u)로 표현되는 분리 가능한 형태로 변환된다. 여기서 ϱ_α(u)는 u에 대해 표현된 반지름이다.
• 클라인-고르든 방정식의 반경 방향 부분은 효과적 퍼텐셜 V(u) = ∏_{α=1}^{d−1} ϱ_α²(u) × [(M²−ω²) + ∑_{α=1}^{d−1} m_α²/ϱ_α²(u)] 를 가진 1차원 슈뢰딩거 유사 방정식으로 줄어든다.
• d차원 공간의 스칼라 곡률 R^{(d)}는 비영이며, 반지름의 이阶 도함수를 포함하는 복잡한 표현식으로 주어지며, 비영인 기하학적 구조임을 확인한다.
• 등각 불변 클라인-고르든 방정식은 두 번째 효과적 퍼텐셜 V_c(u) = [R^{(1+d)}/n_d − ω² + ∑ m_α²/ϱ_α²] × ∏ ϱ_α² 를 유도하며, 여기서 n_d = 4/(1−1/d) 이다. 이는 대체 기하학적 매핑을 제공한다.
• d > 3인 경우 d차원 공간의 와이어 텐서는 영이 아니며, 이는 등각 평탄하지 않음을 나타내며, 3차원 공간의 경우 와이어 텐서는 영이지만 타우브 텐서는 비영이므로 등각 평탄하지 않음을 의미한다.