[논문 리뷰] Riesz transform associated with the fractional Fourier transform and applications in image edge detection

Zunwei Fu, Loukas Grafakos외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 07.

Mathematical Analysis and Transform Methods인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수 포아르 변환(FRFT)을 통해 고전적 리에즈 변환의 일반화로 분수 리에즈 변환을 도입하여 이미지에서 방향성 에지 검출을 가능하게 한다. 분수 차수 매개변수를 제어함으로써, 이 방법은 동시에 진폭, 위상 및 방향 정보를 추출하며, FRFT 기반의 빠른 알고리즘을 통해 효율적인 계산을 실현하고, 레나와 같은 테스트 이미지에서 다중 방향 에지 검출에서 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

The fractional Hilbert transform was introduced by Zayed [30, Zayed, 1998] and has been widely used in signal processing. In view of is connection with the fractional Fourier transform, Chen, the first, second and fourth authors of this paper in [6, Chen et al., 2021] studied the fractional Hilbert transform and other fractional multiplier operators on the real line. The present paper is concerned with a natural extension of the fractional Hilbert transform to higher dimensions: this extension is the fractional Riesz transform which is defined by multiplication which a suitable chirp function on the fractional Fourier transform side. In addition to a thorough study of the fractional Riesz transforms, in this work we also investigate the boundedness of singular integral operators with chirp functions on rotation invariant spaces, chirp Hardy spaces and their relation to chirp BMO spaces, as well as applications of the theory of fractional multipliers in partial differential equations. Through numerical simulation, we provide physical and geometric interpretations of high-dimensional fractional multipliers. Finally, we present an application of the fractional Riesz transforms in edge detection which verifies a hypothesis insinuated in [26, Xu et al., 2016]. In fact our numerical implementation confirms that amplitude, phase, and direction information can be simultaneously extracted by controlling the order of the fractional Riesz transform.

연구 동기 및 목표

• 분수 포아르 변환을 이용하여 힐버트 변환을 고차원으로 확장함으로써 분수 리에즈 변환을 도출한다.
• 치프 특이 적분 연산자, 치프 하디 공간, 치프 BMO 공간에 대한 이론적 프레임워크를 수립한다.
• FRFT와 분수 승수 정리의 활용을 통해 에지 검출을 위한 계산 효율성이 높은 알고리즘을 개발한다.
• 분수 차수를 제어함으로써 이미지 처리에서 진폭, 위상 및 방향 특징을 동시에 추출할 수 있다는 가설을 검증한다.
• 시뮬레이션을 통해 고차원 분수 승수의 수치적 및 기하학적 해석을 제공한다.

제안 방법

• 분수 리에즈 변환은 분수 포아르 변환 도메인에서 치프 함수의 곱셈을 통해 정의되며, 고전적 리에즈 변환의 일반화를 이룬다.
• 이론적 분석은 분수 승수 정리를 활용하여 변환을 FRFT, 승수, 역 FRFT의 복합 형태로 표현함으로써 빠른 계산을 가능하게 한다.
• 치프 특이 적분 연산자는 회전 불변 공간, 치프 하디 공간 및 그 쌍대 공간에서 연구되며, 조화 분석 기법을 통해 유계성 조건이 확립된다.
• 에지 검출은 식 (6.3)과 (6.4)의 형태로 구현되며, 직접 통합(6.1)과 (6.2)에 비해 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 수치 시뮬레이션은 레나 이미지를 사용하여 임계값 기반 이진화를 통해 다양한 분수 차수에서의 방향성 에지 추출을 강조한다.
• 이 방법은 분수 차수 (α₁, α₂)를 동적으로 조정하여 횡방향, 縦방향, 주대각선 및 반대각선 방향의 특징을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 포아르 변환을 이용하여 분수 힐버트 변환을 고차원에서 자연스럽게 확장하여 분수 리에즈 변환을 구성할 수 있는가?
• RQ2 치프 특이 적분 연산자는 치프 하디 공간 및 그 쌍대 공간에서 어떻게 행동하며, 어떤 유계성 성질을 보이는가?
• RQ3 분수 리에즈 변환은 그 차수 매개변수를 조절하여 이미지에서 진폭, 위상 및 방향 특징을 효율적으로 추출할 수 있는가?
• RQ4 직접 통합에 비해 FRFT 기반 복합 표현을 통한 분수 리에즈 변환의 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ5 수치적 구현 결과는 분수 차수를 제어함으로써 방향성 에지 특징을 선택적으로 추출할 수 있다는가 확인되는가?

주요 결과

• 분수 리에즈 변환은 분수 차수 매개변수 α₁과 α₂를 조절함으로써 이미지에서 진폭, 위상 및 방향 정보를 동시에 추출할 수 있다.
• α₁ = π/2이고 α₂를 변형할 경우 횡방향 특징(상하)이 추출되며, 이는 방향 감도를 보여준다.
• α₂ = π/2이고 α₁를 변형할 경우 縦방향 특징(좌우)이 선택적으로 추출되며, 이는 방향 제어의 가능성을 확인한다.
• α₁과 α₂를 동시에 π/2에서 증가 또는 감소시킬 경우 각각 주대각선 및 반대각선 방향의 특징이 추출된다.
• FRFT 기반의 표현식 (6.3)과 (6.4)는 직접 통합(6.1)과 (6.2)에 비해 계산 복잡도를 감소시켜 더 빠른 에지 검출을 가능하게 한다.
• 레나 이미지에 대한 수치 결과는 방향 조정에 따라 에지 검출 성능이 향상됨을 확인하며, Xu 등(2016)의 가설을 검증한다.