[논문 리뷰] Riesz transforms on non-compact manifolds

Chen Peng, Jocelyn Magniez외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 01.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트 리만다이언만에서 곡률 및 열핵 조건 하에 $L^p$ 공간에서 Riesz 변환 $d\Delta^{-1/2}$ 의 유계성을 확립한다. $p \in (1, p_0)$ 및 $p \in (1, D)$ 에 대해 성립하며, 음의 리만 곡률이 $\alpha$-하위임계일 경우 $\alpha \in [0,1)$ 이면, Riesz 변환은 $H^p_{\overrightarrow{\Delta}}(\Lambda^1T^*M)$ 에서 $L^p(M)$ 로 $p \in [1,2]$ 에 대해, $p < p_0 > 2$ 에 대해 $L^p$ 에 대해 유계이다. $p > 2$ 에서는 $|R^{-}|^{1/2}$ 의 적분 조건 또는 $|R^{-}|$ 의 $L^{D/2 \pm \eta}$ 적분 조건이 성립할 경우 $L^p$ 유게성이 성립하며, 이는 $p < D$ 에 대해 성립한다. 결과는 유사한 곡률 및 잠재력 조건 하에 슈뢰딩거 연산자 $A = \Delta + V$ 로까지 확장된다.

ABSTRACT

Let $M$ be a complete non-compact Riemannian manifold satisfying the doubling volume property as well as a Gaussian upper bound for the corresponding heat kernel. We study the boundedness of the Riesz transform $dΔ^{-\frac{1}{2}}$ on both Hardy spaces $H^p$ and Lebesgue spaces $L^p$ under two different conditions on the negative part of the Ricci curvature $R^-$. First we prove that if $R^-$ is $α$-subcritical for some $α\in [0,1)$, then the Riesz transform $d^*Δ^{-\frac{1}{2}}$ on differential $1$-forms is bounded from the associated Hardy space $H^p_{\overrightarrowΔ}(Λ^1T^*M)$ to $L^p(M)$ for all $p\in [1,2]$. As a consequence, the Riesz transform (on functions) is bounded on $ L^p$ for all $p\in (1,p_0)$ where $p_0&gt;2$ depends on $α$ and the constant appearing in the doubling property. Second, we prove that if $$\int_0^1 \left\|\frac{|R^-|^{\frac{1}{2}}}{v(\cdot,\ \sqrt{t})^{\frac{1}{p_1}}} ight\|_{p_1}\frac{dt}{\sqrt{t}}+\int_1^\infty \left\|\frac{|R^-|^{\frac{1}{2}}}{v(\cdot,\ \sqrt{t})^{\frac{1}{p_2}}} ight\|_{p_2}\frac{dt}{\sqrt{t}}2$ and $p_2&gt;3$, then the Riesz transform $dΔ^{-\frac{1}{2}}$ is bounded on $L^p$ for all $1 0$, then $dΔ^{-\frac{1}{2}}$ is bounded on $L^p$ for all $12$ under conditions on $R^-$ and the potential $V$. We prove both positive and negative results on the boundedness of $dA^{-\frac{1}{2}}$ on $L^p$

연구 동기 및 목표

• 완전한 비콤팩트 리만다이언만에서 $p \neq 2$ 에 대해 $L^p(M)$ 에서 Riesz 변환 $d\Delta^{-1/2}$ 의 유게성을 확립하는 것.
• Riesz 변환의 $L^p$ 유게성에 영향을 주는 리만 곡률의 음의 부분 $R^{-}$ 에 대한 조건을 조사하는 것.
• 라플라스 연산자에서 슈뢰딩거 연산자 $A = \Delta + V$ 로의 결과 확장: $p > 2$ 에서 곡률 및 잠재력 조건 하에 $L^p$ 에서의 유게성.
• Riesz 변환의 유게성과 열핵 추정, 하르트 공간, 리틀우드-파일스틴 부등식 간의 연결 고리 설정.

제안 방법

• Hodge-de Rham 라플라스 연산자 $\overrightarrow{\Delta}$ 를 $\nabla^*\nabla + R^+ - R^-$ 로 표현하기 위해 보흐너 공식을 사용하며, 이를 1-형식 위의 슈뢰딩거 연산자로 간주하는 것.
• R^{-} 에 대한 $\alpha$-하위임계 조건 적용: $\alpha \in [0,1)$ 이면 $(R^{-}\omega,\omega) \leq \alpha ( (\nabla^*\nabla + R^+)\omega, \omega) $ 이 성립하여 음의 곡률의 영향을 통제하는 것.
• 열핵 추정 및 체적의 두 배 성질을 확립하여 열핵과 체적의 성장을 통제하는 것.
• 열핵 추정 및 $e^{-tA}$ 의 $L^p$-유게성 을 이용해 기울기 추정을 유도하고, 쌍대성 및 데임프된 반군을 통해 Riesz 변환을 통제하는 것.
• 최대 함수 및 최대 부등식 기법 활용: 하르트-리틀우드 최대 함수 및 캘러드론-지그문드 분해의 사용.
• 쌍대성 추론 적용: $q \in (1,2)$ 에 대해 $d^*\overrightarrow{\Delta}^{-1/2}$ 이 $L^q$ 에서 유게이면, $1/p + 1/q = 1$ 이면 $p \in (2,\infty)$ 에 대해 $d\Delta^{-1/2}$ 는 $L^p$ 에서 유게이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Riesz 변환 $d\Delta^{-1/2}$ 가 $L^p(M)$ 에서 $p \in (1,2]$ 에 대해 유게가 되기 위한 $R^{-}$ 의 조건은 무엇인가?
• RQ2 리-요 추정보다 더 약한 곡률 조건 하에서 $p > 2$ 에 대해 Riesz 변환의 $L^p$ 유게성이 확립될 수 있는가?
• RQ3 체적의 두 배 성질과 가우시안 열핵 추정이 비콤팩트 다양체에서 Riesz 변환의 유게성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $|R^{-}|^{1/2}$ 의 $L^{p_1}$ 및 $L^{p_2}$ 노름에 대한 적분 조건이 $p > 2$ 에서 Riesz 변환의 $L^p$ 유게성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $A = \Delta + V$ 인 경우 잠재력 $V$ 와 곡률 $R^{-}$ 가 어떤 조건을 만족해야 $p > 2$ 에서 Riesz 변환 $dA^{-1/2}$ 가 $L^p$ 에서 유게가 되는가?

주요 결과

• 만약 $R^{-}$ 가 어떤 $\alpha \in [0,1)$ 에 대해 $\alpha$-하위임계이면, 모든 $p \in [1,2]$ 에 대해 $d^*\overrightarrow{\Delta}^{-1/2}$ 는 $H^p_{\overrightarrow{\Delta}}(\Lambda^1T^*M)$ 에서 $L^p(M)$ 로 유게이다.
• 그 결과로, $p_0 > 2$ 는 $\alpha$ 와 두 배 체적 상수에 의존하며, 모든 $p \in (1, p_0)$ 에 대해 $d\Delta^{-1/2}$ 는 $L^p(M)$ 에서 유게이다.
• $p_1 > 2$, $p_2 > 3$ 이면 $\int_0^1 \left\| \frac{|R^{-}|^{1/2}}{v(\cdot,\sqrt{t})^{1/p_1}} \right\|_{p_1} \frac{dt}{\sqrt{t}} + \int_1^\infty \left\| \frac{|R^{-}|^{1/2}}{v(\cdot,\sqrt{t})^{1/p_2}} \right\|_{p_2} \frac{dt}{\sqrt{t}} < \infty$ 이면, 모든 $p \in (1, p_2)$ 에 대해 $d\Delta^{-1/2}$ 는 $L^p(M)$ 에서 유게이다.
• 만약 $v(x,r) \geq C r^D$ 이고 $r \geq 1$ 이며, $|R^{-}| \in L^{D/2 - \eta} \cap L^{D/2 + \eta}$ 이며 $\eta > 0$ 이면, 모든 $p \in (1, D)$ 에 대해 Riesz 변환 $d\Delta^{-1/2}$ 는 $L^p(M)$ 에서 유게이다.
• 슈뢰딩거 연산자 $A = \Delta + V$ 에 대해, $R^{-}$ 와 $V$ 가 적절한 적분 및 곡률 조건을 만족하면 $p > 2$ 에서 $dA^{-1/2}$ 는 $L^p$ 에서 유게이다.
• 반례를 구성하여, 만약 $p > 2$ 이고 $p > D$ 에 대해 $dA^{-1/2}$ 가 $L^p$ 에서 유게이면 거의 확실히 $V = 0$ 이며, 이는 $p < D$ 조건의 날카로움을 보여준다.