[논문 리뷰] Right Amenable Left Group Sets and the Tarski-Følner Theorem

Simon Wacker|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 21.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 안정자군을 가진 왼쪽 동차공간에 대해 오른쪽 애매성, 오른쪽 Følner 네트워크, 오른쪽 역설적 분해를 도입하며, 이 맥락에서 Tarski-Følner 정리를 증명한다: 오른쪽 애매성, 오른쪽 Følner 네트워크의 존재, 오른쪽 역설적 분해의 부재는 서로 동치이다. 이 틀은 좌표계와 군 원소에 의해 유도되는 준행동을 통해 군 작용에 대한 고전적 애매성 이론을 동차공간으로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce right amenability, right Følner nets, and right paradoxical decompositions for left homogeneous spaces and prove the Tarski-Følner theorem for left homogeneous spaces with finite stabilisers. It states that right amenability, the existence of right Følner nets, and the non-existence of right paradoxical decompositions are equivalent.

연구 동기 및 목표

• 군에서의 고전적 애매성 개념을 왼쪽 동차공간으로 확장함으로써, 특히 애매성의 오른쪽 불변 대체 개념을 정의함.
• 좌표계와 군 원소를 사용하여 왼쪽 동차공간에 오른쪽 준행동을 정의함으로써, 군 내 오른쪽 곱셈의 일반화.
• 군 작용에 대한 동차공간 맥락에서 오른쪽 애매성을 특성화하기 위해 오른쪽 Følner 네트워크와 오른쪽 역설적 분해를 도입함.
• 유한 안정자군을 가진 왼쪽 동차공간에 대해 Tarski-Følner 정리를 증명함으로써, 오른쪽 애매성, 오른쪽 Følner 네트워크의 존재, 오른쪽 역설적 분해의 부재 간의 동치성을 보임.
• 유한 공간, 아벨 군, 지수적 성장 이하의 유한 생성 군 등의 오른쪽 애매성에 대한 충분조건을 제공함.

제안 방법

• 기저점 $ m_0 \notin M $ 과 $ m \notin M $ 에 대해 $ g_{m_0,m} \triangleright m_0 = m $ 를 만족하는 $ \{g_{m_0,m}\}_{m \notin M} $ 의 선택을 통해 $ M $ 에 오른쪽 준행동 $ \triangleright $ 를 정의함. 이는 결함이 $ G_0 $ 인 $ G/G_0 $-행동을 유도함.
• 오른쪽 준행동 $ \triangleright $ 에 대해 반불변인 유한加법적 확률측도가 존재하는 것으로 오른쪽 애매성을 정의함.
• 오른쪽 준행동에 대해 점 渐진적으로 불변하는 $ M $ 의 유한비어있음 부분집합의 네트워크로 오른쪽 Følner 네트워크를 정의함.
• 유한 집합 $ E \times M $ 과 분할 $ \{A_e\}, \{B_e\} $ 에 대해, $ x \mapsto x \triangleright e $ 가 $ A_e $ 와 $ B_e $ 에서 단사적이며, 그 이미지가 $ M $ 을 덮는 것으로 오른쪽 역설적 분해를 정의함.
• 오른쪽 Følner 네트워크의 존재를 통해 역설적 분해를 배제하고, 그 반대로도 마찬가지로, Tarski-Følner 정리의 동치성을 확립함.
• 예를 들어, 유클리드 군 $ E $ 의 작용 하에서 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^d $ 에 적용하여, 이동군 $ T $ 의 아벨 성질을 이용해 오른쪽 애매성을 확립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저점과 좌표계에 의해 유도되는 준행동을 사용하여, 군 작용을 대체함으로써, 고전적 Tarski-Følner 정리를 유한 안정자군을 가진 왼쪽 동차공간으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 자연스러운 오른쪽 작용이 없는 상황에서, 왼쪽 동차공간에 대해 '오른쪽 애매성'의 적절한 개념은 무엇인가?
• RQ3 군 작용에 의한 동차공간 맥락에서 오른쪽 Følner 네트워크와 오른쪽 역설적 분해는 어떻게 상호 연관되어 있는가?
• RQ4 유한 안정자군을 가진 왼쪽 동차공간이 오른쪽 애매성이 되기 위한 조건은 무엇인가, 특히 성장 유형이나 대수적 구조와의 관계에서?
• RQ5 이동군 $ T \to \mathbb{R}^d $ 의 애매성이 유클리드 군 $ E $ 의 작용 하에서 전체 유클리드 공간의 오른쪽 애매성에 기여할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 안정자군을 가진 왼쪽 동차공간에서 오른쪽 애매성, 오른쪽 Følner 네트워크의 존재, 오른쪽 역설적 분해의 부재는 상호 동치이다.
• 유한 왼쪽 동차공간, 아벨 군, 지수적 성장 이하의 유한 생성 군은 오른쪽 애매성이며, 특히 유한 부분군에 대한 몫에 대해 왼쪽 곱셈으로 작용할 경우 특히 그렇다.
• 좌표계 $ (m_0, \{g_{m_0,m}\}) $ 와 함께 $ \mathcal{R} = (M, G, \triangleright) $ 라는 셀 공간은 안정자군 $ G_0 $ 가 유한하고, 자유롭게 작용하는 군 $ H $ 가 아벨일 경우 오른쪽 애매성이 있다.
• 유클리드 군 $ E $ 의 작용 하에서 $ \mathbb{R}^d $ 의 경우, 이동부분군 $ T \cong \mathbb{R}^d $ 는 아벨이므로 왼쪽 애매성이며, 이는 전체 셀 공간이 오른쪽 애매성이 됨을 의미한다.
• 기저점과 기저점에서 다른 점으로 가는 군 원소의 선택을 통해 $ M $ 에 오른쪽 준행동이 구성되며, 이는 $ G/G_0 $ 의 작용을 통해 오른쪽 불변 측도를 정의할 수 있다.
• 증명은 오른쪽 Følner 네트워크가 존재하면 오른쪽 역설적 분해가 존재할 수 없고, 그 반대도 마찬가지로 성립함을 바탕으로 하며, 이로써 동치성이 완성된다.