[논문 리뷰] Right-angled Artin groups as normal subgroups of mapping class groups

Matt Clay, Johanna Mangahas외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 28.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 36인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 프로젝션 복합체에 맞추어 조정된 새로운 버전의 윈밀 툴킷을 개발하여, 매핑 클래스 군, 브레인드 군, 토렐리 군 내에서 정규부분군으로서 알려진 비자유 오른쪽-모서리 예술 군의 첫 번째 예를 구성한다. 핵심 기여는 특정 '스피닝' 작용 하에서 프로젝션 복합체에 대한 군의 임베딩이 안정화된 정점 군들의 자유곱으로 이어지며, 이로 인해 무한 자유곱인 $F_\infty \times F_\infty$, $F_\infty \times \mathbb{Z}$, $F_\infty \times F_\infty \times \mathbb{Z}$ 등의 명시적 동형 타입을 얻는 기술적 정리이다. 이는 정규부분군의 구조와 교차부분군에 응용된다.

ABSTRACT

We construct the first examples of normal subgroups of mapping class groups that are isomorphic to non-free right-angled Artin groups. Our construction also gives normal, non-free right-angled Artin subgroups of other groups, such as braid groups and pure braid groups, as well as many subgroups of the mapping class group, such as the Torelli subgroup. Our work recovers and generalizes the seminal result of Dahmani-Guirardel-Osin, which gives free, purely pseudo-Anosov normal subgroups of mapping class groups. We give two applications of our methods: (1) we produce an explicit proper normal subgroup of the mapping class group that is not contained in any level $m$ congruence subgroup, and (2) we produce an explicit example of a pseudo-Anosov mapping class with the property that all of its even powers have free normal closure and its odd powers normally generate the entire mapping class group. The technical theorem at the heart of our work is a new version of the windmill apparatus of Dahmani-Guirardel-Osin, which is tailored to the setting of group actions on the projection complexes of Bestvina-Bromberg-Fujiwara.

연구 동기 및 목표

• 매핑 클래스 군의 정규부분군으로서 비자유 오른쪽-모서리 예술 군의 명시적 예를 구성하는 것.
• 다만-구이라르델-오신의 편의안소보 원소의 자유 정규폐쇄 결과를 비자유 오른쪽-모서리 예술 군으로 확장하는 것.
• 특히 교차부분군과 편의안소보 원소의 거듭제곱에 의한 정규생성에 관해 열려 있는 질문들을 해결하는 것.
• 정점이 분리된 부분표면에 대응하는 프로젝션 복합체에 대해 윈밀 툴킷을 일반화하는 것.
• 다양한 매핑 클래스 군 부분군 내에서 정규부분군으로 나타나는 오른쪽-모서리 예술 군의 동형 타입에 대한 체계적 분류를 제공하는 것.

제안 방법

• 베스트비나–브롬버그–후지와라의 프로젝션 복합체에 대한 군 작용에 맞추어 조정된 새로운 버전의 윈밀 툴킷을 개발하는 것.
• 정점이 분리된 부분표면에 대응하는 프로젝션 복합체 위에서 '스피닝' 작용을 정의하여 정규부분군의 구성이 가능하도록 하는 것.
• 프로젝션 복합체 이론을 사용하여 지지가 충분히 큰 매핑 클래스의 고차수 거듭제곱의 정규폐쇄를 분석하는 것.
• 기술적 정리 1.6을 적용하여, 스피닝 작용 하에서 군이 안정화된 정점 군들의 자유곱과 동형임을 증명하는 것.
• 다중곡선 위에서 서턴스턴의 구성 방법을 사용하여 정규폐쇄가 제어 가능한 편의안소보 매핑 클래스를 구성하는 것.
• 표면의 이면대칭을 활용하여 특정 원소의 거듭제곱의 정규폐쇄를 제어하며, 특히 정리 1.5의 증명에서 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자유 오른쪽-모서리 예술 군이 매핑 클래스 군의 정규부분군으로 나타날 수 있는가? 만약 그렇다면, 생성 매핑 클래스에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 매핑 클래스 군, 순수 브레인드 군, 토렐리 군 내에서 어떤 동형 타입의 오른쪽-모서리 예술 군이 정규부분군으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 모든 수준 $m$ 교차부분군에 포함되지 않는 매핑 클래스 군의 정규부분군이 존재하는가? 만약 존재한다면, 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 편의안소보 매핑 클래스에 대해, 그 홀수 거듭제곱 또는 짝수 거듭제곱이 정규폐쇄로 전체 매핑 클래스 군 또는 무한 랭크 자유군이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 지지가 충분히 클 경우, 매핑 클래스의 고차수 거듭제곱의 정규폐쇄의 정확한 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 매핑 클래스 군의 정규부분군으로서 비자유 오른쪽-모서리 예술 군 14종을 구성하였으며, 이는 $F_\infty$, $F_\infty \times F_\infty$, $F_\infty \times \mathbb{Z}$, $F_\infty \times F_\infty \times \mathbb{Z}$의 자유곱으로 이루어져 있다.
• 편의안소보 매핑 클래스 $f$의 충분히 큰 짝수 거듭제곱의 정규폐쇄는 $F_\infty$와 동형이다.
• 특정 편의안소보 원소 $h$의 충분히 큰 홀수 거듭제곱의 정규폐쇄는 전체 매핑 클래스 군 $\operatorname{Mod}(S_g)$와 동형이다.
• 논문은 $\operatorname{Mod}(S_g)$의 명시적 정규부분군을 구성하였으며, 이는 어떤 수준 $m$의 교차부분군에도 포함되지 않으며, 라니어와 제3저자(저자)의 질문에 답한다.
• 구성 방법에 따르면 특정 편의안소보 원소 $h$에 대해 모든 충분히 큰 홀수 거듭제곱은 $\operatorname{Mod}(S_g)$를 정규생성하며, 모든 충분히 큰 짝수 거듭제곱은 $F_\infty$와 동형인 정규폐쇄를 가진다.
• 이 방법은 토렐리 군과 순수 브레인드 군과 같은 부분군에도 적용되며, 이들 군 내에서 모든 15종의 동형 타입(자유군 포함)이 정규부분군으로 나타남을 보여준다.