[논문 리뷰] Rigidity in dynamics and Möbius disjointness

Adam Kanigowski, Mariusz Lemańczyk외 1명|CaltechAUTHORS (California Institute of Technology)|2019. 05. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 특정 강성 조건—즉, 유한한 소수 부피 강성 또는 밀도 부분집합에서 다항 강성—을 만족하는 위상 동역학계가 모비우스 함수의 이산성에 관한 사르나크의 추측을 만족함을 증명한다. 핵심 기여는 이전 결과들을 복원하고 확장하는 일반 기준을 제시하는 것으로, 구간 교환 사상, 원회전 위의 $C^{2+ ho}$ 스케일 제품, 토러스 위의 매끄러운 흐름에 대해 모비우스 이산성을 증명한다.

ABSTRACT

Let $(X, T)$ be a topological dynamical system. We show that if each invariant measure of $(X, T)$ gives rise to a measure-theoretic dynamical system that is either: a. rigid along a sequence of "bounded prime volume" or b. admits a polynomial rate of rigidity on a linearly dense subset in $C(X)$, then $(X, T)$ satisfies Sarnak's conjecture on Möbius disjointness. We show that the same conclusion also holds if there are countably many invariant ergodic measures, and each of them satisfies a. or b. This recovers some earlier results and implies Sarnak's conjecture in the following new cases: for almost every interval exchange map of $d$ intervals with $d \geq 2$, for $C^{2+ε}$-smooth skew products over rotations and $C^{2+ε}$-smooth flows (without fixed points) on the torus. In particular, these are improvements of earlier results of respectively Chaika-Eskin, Wang and Huang-Wang-Ye. We also discuss some purely arithmetic consequences for the Liouville function.

연구 동기 및 목표

• 위상 동역계가 모비우스 이산성에 관한 사르나크의 추측을 만족하는 데 충분한 조건을 확립하기 위해.
• 기존의 모비우스 이산성 결과를 구간 교환 사상과 매끄러운 스케일 제품과 같은 새로운 종류의 시스템으로 확장하기 위해.
• 측도론적 강성과 모비우스 함수의 산술적 성질을 연결하는 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• DDKBSZ 기준을 초월하여, 가чёт한 기약 측도를 가진 시스템에 적용 가능한 모비우스 이산성의 새로운 기준을 제공하기 위해.

제안 방법

• 소수 인수에 대해 $\sum_{p|q} 1/p$ 를 통해 정의되는 '유한한 소수 부피' 강성의 개념을 도입하고, 소수 부피가 $j$ 미만인 정수의 집합을 $\mathcal{D}_j$ 로 정의한다.
• 두 가지 유형의 강성을 정의한다: (a) 유한한 소수 부피(BPV) 강성과 (b) 선형 밀도 부분집합에서 다항 속도 강성(PR 강성)이다.
• 마토마키-라즈위리얼 정리의 변형을 사용하여 산술 등차수열에서 모비우스 함수의 짧은 평균을 다루며, 제어된 소수 부피를 가진 짧은 간격을 다룰 수 있도록 조정한다.
• 다보시-델랑즈-카타이-부르고아-사르나크-지글러 기준을 수정된 형태로 적용하여, 강성 조건 하에서 궤도 평균의 구조를 활용한다.
• 티에츠 확장과 측도론적 동형을 사용하여 기호 모델에서 원래 시스템으로 성질를 이전한다.
• 좋은 궤도 구조를 가진 시스템에 대해 강한 $\mathbf{u}$-OMO 성질을 확립하여, 가중 평균의 기하학적 제어를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불변 측도에 어떤 조건이면 위상 동역계가 사르나크의 모비우스 이산성 추측을 만족하는가?
• RQ2 유한한 소수 부피 또는 다항 속도 강성이 모비우스 이산성을 유도할 수 있는가?
• RQ3 기약 불변 측도가 가чёт하게 존재하고 각 측도가 BPV 또는 PR 강성을 만족한다면, 모비우스 이산성이 보장되는가?
• RQ4 이 결과들은 구간 교환 사상과 원회전 위의 $C^{2+\epsilon}$ 스케일 제품과 같은 매끄러운 동역계에 적용 가능한가?
• RQ5 이 동역계 결과는 리우빌 함수에 대해 어떤 산술적 결과를 초래하는가?

주요 결과

• 위상 동역계 $(X,T)$ 의 모든 불변 측도가 BPV-강성 또는 PR-강성을 만족하면, $(X,T)$ 는 사르나크의 추측을 만족한다.
• 이 결과는 $d \geq 2$ 개의 구간을 가진 거의 모든 구간 교환 사상에 적용되며, 케이카-에스킨의 이전 결과를 복원하고 개선한다.
• $C^{2+\epsilon}$-매끄러운 원회전 위의 스케일 제품에 대해서도 추측이 성립하며, 왕의 결과를 확장한다.
• $C^{2+\epsilon}$-매끄러운 흐름이 토러스 위에 고정점 없이 존재할 경우에도 추측이 성립하며, 황-왕-예의 결과를 개선한다.
• 논문은 소수 부피가 $j$ 미만인 정수의 집합 $\mathcal{D}_j$ 가 자연 밀도 $d(\mathcal{D}_j) \to 1$ 으로 수렴함을 보이며, 이는 기술적 분석에 핵심적이다.
• 저자들은 기약 측도가 가чёт하게 존재하고 각 측도가 BPV 또는 PR 강성을 만족하는 시스템이 모비우스 이산성을 만족함을 증명하며, 이는 이전 결과를 더 넓은 시스템 클래스로 일반화한다.