[논문 리뷰] Rigidity of action of compact quantum groups on compact, connected manifolds

Debashish Goswami, Soumalya Joardar|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 05.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 등장하는 등거리로(compact, connected, smooth) 매끄러운 다변량에 작용하는 컴팩트 양자군이 리만 기하학을 유지한다면, 그 양자군은 아벨이어야 하며, 즉 고전적 컴팩트 군의 함수 대수와 동형이어야 한다고 증명한다. 이 결과는 강성 현상( rigidity phenomenon)을 확립한다: 비아벨 양자군은 이러한 다변량에 등거리로 작용할 수 없으며, 고전적 군으로 축소되어야 한다.

ABSTRACT

Suppose that a compact quantum group $\clq$ acts faithfully on a smooth, compact, connected manifold $M$ such that the action $\alpha$ is smooth, i.e. it leaves $C^\infty(M)$ invariant and the linear span of $\alpha(C^\infty(M))(1 \ot \clq)$ is Fr\'echet-dense in $C^\infty(M,\clq)$. % and (ii) %%the action $\alpha_r:=({ m id} \ot \pi_r)\circ \alpha$ of the reduced quantum group $\clq_r$ is injective (which is equivalent to %the existence of some $\alpha$-invariant faithful positive Borel measure on $C(M)$). We prove that if the action is isometric in the sense of \cite{Goswami} some Riemannian structure on $M$ then $\clq$ must be commutative as a $C^{*}$ algebra i.e. $\clq\cong C(G)$ for some compact group $G$ acting smoothly on $M$. Along the way, we develop several general techniques to study smooth actions of compact quantum groups, proving in particular (i) injectivity of the reduced action and (ii) equivalence of existence of some Riemannian structure for which is preserved by the action and the possibility of a suitable `lift' of the action as a well-defined, Frechet-continuous bimodule-morphism on the $C^\infty(M)$-bimodule $\Omega^1(M)$ of smooth one-forms. As a consequence, the quantum isometry group of any noncommutative Riemannian manifold obtained by cocycle twisting of a compact connected Riemannian manifold is isomorphic with similar cocycle twisted quantum version of the classical isometry group of the manifold.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 양자군 작용이 매끄러운 다변량 위에서 고전적 군 작용으로 축소되어야 하는 조건을 확립하기 위해.
• 컴팩트, 연결된 리만 다변량 위에서 컴팩트 양자군의 매끄럽고 등거리 작용이 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 다변량 위에서 컴팩트 양자군의 매끄러운 작용을 분석하기 위한 일반 기법을 개발하기 위해.
• 불변 리만 기하학적 구조의 존재와 매끄러운 1형식의 모듈러스 위로의 작용의 승강 가능성 사이의 관계를 명확히 하기 위해.
• 고전적 리만 다변량의 코사이클 변형을 통해 얻어진 다변량의 양자 등거리군을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 컴팩트 양자군의 $C^\infty(M)$ 위에서의 매끄러운 작용을 도입하고 분석하며, 그 이미지가 $C^\infty(M, \clq)$ 내에서 불변성과 프레셰 밀도를 가져야 한다고 요구한다.
• 불변인 충실한 양의 보렐 측도의 존재를 통해 감소된 작용 $\alpha_r = (\text{id} \ot \pi_r) \circ \alpha$ 의 단사성을 증명한다.
• 작용 $\alpha$-불변 리만 계량의 존재와 $C^\infty(M)$-이중모듈러스 $\Omega^1(M)$ 위에서 잘 정의되고 프레셰 연속인 이중모듈러스 준동형사상의 존재 사이의 동치성을 확립한다.
• 고스와미의 등거리 작용 조건을 사용하여 양자군 대수가 아벨이 되도록 제약을 가한다.
• 비가환 기하학 기법, 특히 미분 계산 이론과 이중모듈러스 구조 이론을 적용하여 형식 위에서의 작용을 분석한다.
• 코사이클 변형 다변량의 양자 등거리군을 분석하여, 원래 다변량의 고전적 등거리군의 코사이클 변형된 형태와 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 양자군이 컴팩트, 연결, 매끄러운 다변량 위에서 매끄럽고 등거리로 작용할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 불변 리만 계량의 존재가 다변량 위에 작용하는 양자군에 미치는 구조적 제약은 무엇인가?
• RQ3 매끄러운 함수 위의 작용 성질이 그 형식의 모듈러스 위로의 승강과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 비아벨 양자군은 고전적 리만 다변량 위에서 등거리로 작용할 수 있는가, 아니면 반드시 아벨이어야 하는가?
• RQ5 코사이클 변형 리만 다변량의 양자 등거리군의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 컴팩트 양자군이 컴팩트, 연결, 매끄러운 다변량 위에서 매끄럽고 등거리로 작용한다면, 그 양자군은 $C^*$-대수로서 아벨이어야 한다.
• 작용이 등거리임은 양자군이 어떤 컴팩트 군 $G$가 $M$ 위에서 매끄럽게 작용하는 $C(G)$와 동형임을 암시한다.
• $\alpha$-불변 리만 계량의 존재는 $\Omega^1(M)$ 위에서 잘 정의되고 프레셰 연속인 이중모듈러스 준동형사상의 존재와 동치이다.
• 감소된 작용 $\alpha_r$ 가 단사임은 $C(M)$ 위에 충실한 $\alpha$-불변 양의 보렐 측도가 존재함과 동치이다.
• 코사이클 변형 리만 다변량의 양자 등거리군은 원래 다변량의 고전적 등거리군의 코사이클 변형된 형태와 동형이다.
• 작용에 의한 $C^\infty(M)$ 의 매끄럽고 불변성과 함께 프레셰 밀도 조건을 만족시키면, 양자군의 구조가 엄격하게 제약을 받는다.