[논문 리뷰] Rigidity of closed CSL submanifolds in the unit sphere

Yong Luo, Linlin Sun|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 38인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단위 구면 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 내의 폐쇄된 접촉 정적 레이지언 (CSL) 부분다양체에 대한 강성 정리( rigidity theorem )를 수립한다. 만약 제2 fundamental form의 제곱 길이가 $[0,2]$ 에 속하면, 그 부분다양체는 총지오데식이거나 평탄한 최소 레이지언 토러스임을 증명한다. 이 결과는 이전에 $\mathbb{S}^5$ 내의 표면에 대한 갭 정리( gap theorem )를 기하 해석학과 칼라비 곱 생성법을 이용해 고차원으로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

A contact stationary Legendrian submanifold (briefly, CSL submanifold) is a stationary point of the volume functional of Legendrian submanifolds in a Sasakian manifold. Much effort has been paid in the last two decades to construct examples of such manifolds, mainly by geometers using various geometric methods. But we have rare knowledge about their geometric properties till now. Recently, Y. Luo (\cite{ Luo2, Luo1}) proved that a closed CSL surface in $\mathbb{S}^5$ with the square length of its second fundamental form belonging to $[0,2]$ must be totally geodesic or be a flat minimal Legendrian torus, which generalizes a related gap theorem of minimal Legendrian surface due to Yamaguchi et al. (\cite{YKM}). In this paper, we will study the general dimensional case of this result.

연구 동기 및 목표

• 폐쇄된 최소 레이지언 표면에 대한 갭 정리를 $\mathbb{S}^5$ 에서 고차원 CSL 부분다양체로 확장하기.
• 제한된 $|\mathbf{B}|^2$ 조건 하에서 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 내 폐쇄된 CSL 부분다양체의 기하학적 강성 조사하기.
• $|\mathbf{B}|^2 \in [0,2]$ 조건 하에서 이러한 부분다양체가 총지오데식이거나 평탄한 최소 토러스여야 하는지 규명하기.
• CSL 부분다양체에 대한 시몬스 유형 부등식의 고차원 해석형으로 정립하기.

제안 방법

• 저자들은 하위차원 부분다양체에서 새로운 CSL 부분다양체를 생성하기 위해 칼라비 곱 생성법을 사용하며, CSL 조건을 유지한다.
• 또한 정규직교 기저와 복소構조 분해를 이용해 칼라비 곱의 제2 fundamental form과 평균 곡률에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 분석은 CSL 부분다양체를 특징짓는 오일러-라그랑주 방정식 $\operatorname{div}_g(\bar{J}\mathbf{H}) = 0$ 에 기반한다.
• 핵심 단계로는 곱 계량에서의 제2 fundamental form $|\mathbf{B}|^2_{\tilde{g}}$ 와 평균 곡률 $|\mathbf{H}|^2_{\tilde{g}}$ 의 $L^2$-노름을 계산한다.
• CSL 설정에 적합하게 조정된 시몬스 유형 적분 부등식을 적용하여 $|\mathbf{B}|^2$ 에 대한 압축 조건을 이끌어낸다.
• 유도된 부등식의 등호 조건과 비교 분석을 통해 가능한 부분다양체를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폐쇄된 CSL 부분다양체가 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 에서 총지오데식이거나 평탄한 최소 레이지언 토러스가 되기 위한 $|\mathbf{B}|^2$ 의 조건은 무엇인가?
• RQ2 최소 레이지언 표면에 대한 $\mathbb{S}^5$ 내 갭 정리는 고차원 CSL 부분다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 칼라비 곱의 기하학과 CSL 조건 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 $L^2$-노름이 제2 fundamental form의 길이가 폐쇄된 CSL 부분다양체의 가능한 형태를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 강성이 발생하는 상한 이하의 $|\mathbf{B}|^2$ 의 날카운 상한이 존재하는가?

주요 결과

• 제곱 길이 $|\mathbf{B}|^2 \in [0,2]$ 를 만족하는 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 내 폐쇄된 CSL 부분다양체는 총지오데식이거나 평탄한 최소 레이지언 토러스이다.
• 칼라비 곱 생성법은 CSL 조건를 유지하며, 기저 부분다양체가 CSL이면 결과 부분다양체도 CSL이 된다.
• 평균 곡률 벡터 $\mathbf{H}$ 가 평행이 되는 것은 기저의 평균 곡률 벡터가 평행일 때에만 성립한다.
• 제2 fundamental form의 제곱 길이에 대해 다음 부등식이 성립한다: $|\mathbf{\tilde{B}}|^2_{\tilde{g}} \geq \frac{(n-1)(n+2)}{n} + \frac{n^2+3n-2}{2n^2}|\mathbf{\tilde{H}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{(n-1)(n-2)|\mathbf{\tilde{H}}_{\tilde{g}}|\sqrt{4n + |\mathbf{\tilde{H}}_{\tilde{g}}|^2}}{2n^2}$, 등호는 $|r_1| \leq \sqrt{n/(n+1)}$ 일 때 성립한다.
• 다음 항등식이 성립한다: $|\mathbf{\tilde{B}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{3n-2}{n^2}|\mathbf{\tilde{H}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{4(n-1)}{n} = \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}\frac{r_1^2}{r_2^2}$, 이로써 제품 매개변수에 직접적인 의존성이 드러난다.
• 기저 $M$ 이 총지오데식일 경우 부등식은 날카로워지며, 등호 조건으로부터 강성이 유도된다.