[논문 리뷰] Rigidity of graphs of germs and homomorphisms between full groups

Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 52인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 캄토어 집합 위의 에탈 군oids의 전체군에 대해 위상적 강성 현상을 확립한다: 캄토어 집합 위의 최소 군oids의 대칭 전체군의 작용은 전역 고정 점을 가지거나 그 군oids 자체에서 유도된다. 핵심 결과는 특정 군oids의 전체군 간의 임베딩이 군oids의 준동형사상에 의해 유도된다는 것이며, 이는 동형사상의 강성 일반화에 기여하고 궁극적으로 궤도 성장과 복잡도 함수와 같은 불변량을 통한 새로운 차단 조건을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study topological full groups of \'etale groupoids and show that they satisfy new rigidity phenomena of topological dynamical nature. If $\mathcal{G}$ is a minimal groupoid of germs on the Cantor set, actions of the (alternating) full group of $\mathcal{G}$ on compact spaces satisfy the following dichotomy: either there is a point such that no element has trivial germ at that point, or the action is induced from an action of a (reduced) power of the groupoid $\mathcal{G}$. This dichotomy is a simoultaneous generalisation of the fact that isomorphisms of full groups are implemented by isomorphisms of the underlying groupoids, and of the simplicity of the alternating full group. Using this result we obtain that, for a vast class of groupoids (defined in terms of the geometry of their Cayley graphs), not only isomorphisms but all embeddings between the full groups are induced from the groupoids in a suitable sense. We also show that various quantitative invariants of \'etale groupoids, such as the orbital growth and the complexity function, can be used to produce obstructions to the existence of embeddings. A key tool in the proofs is a characterisation of the subgroups of the full group whose conjugacy class does not accumulate on the trivial subgroup in the Chabauty topology. As another application, we provide the first examples of finitely generated groups that do not admit infinite Schreier graphs that grow uniformly subexponentially, but do admit co-amenable subgroups of infinite index.

연구 동기 및 목표

• 캄토어 집합 위의 최소 군oids의 (대칭) 전체군의 작용에 대해 위상적 역설적 성질을 확립하기 위해.
• 기존의 전체군 간 동형사상의 강성 결과를 모든 임베딩으로 일반화하기 위해.
• 군oids의 기하 불변량—예를 들어 궤도 성장과 복잡도 함수—를 이용해 전체군 간의 임베딩이 존재하지 않도록 차단하는 데 사용하기 위해.
• 카바티 위상에서 항등원에 대해 수렴하지 않는 공轭류를 가지는 전체군의 부분군을 특성화하기 위해.
• 유한 생성된 군들 중에서 무한 지수의 공첨성 부분군을 가지지만, 균일하게 초지수적으로 성장하는 슈라이어 그래프가 없는 새로운 예를 만들기 위해.

제안 방법

• 콤팩트 공간 위에서 대칭 전체군의 작용을 분석하여, 어떤 점에서 원소의 미분이 항상 자명하지 않은지 여부에 따라 두 가지 경우로 나뉘는 역설적 성질을 증명하기 위해.
• 카바티 위상을 사용하여 항등원에 대해 수렴하지 않는 전체군의 부분군을 특성화하기 위해.
• 역설적 성질을 적용하여, 카일리 그래프 기하학적 성질을 만족하는 군oids의 전체군 간의 임베딩이 군oids 준동형사상에 의해 유도됨을 보여주기 위해.
• 에탈 군oids의 궤도 성장과 복잡도 함수와 같은 정량적 불변량을 도입하여 전체군 간의 임베딩 존재를 차단하기 위해.
• 유한 생성된 군들 중에서 무한 지수의 공첨성 부분군을 가지지만, 균일하게 초지수적으로 성장하는 무한 슈라이어 그래프가 없는 새로운 예를 만들기 위해.
• 균형의 기하학적 구조와 그 전체군의 성질을 활용하여 위상적 동역학과 군론 기법을 통해 강성 결과를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에탈 군oids의 전체군 간의 임베딩이 그 기저 군oids의 준동형사상에 의해 유도되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 군oids의 카일리 그래프 기하학적 성질이 그 전체군 간의 임베딩 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ3 에탈 군oids의 궤도 성장과 복잡도 함수가 군의 임베딩을 차단하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 카바티 위상에서 항등원에 대해 수렴하지 않는 공轭류를 가지는 전체군의 부분군은 어떻게 특성화되는가?
• RQ5 유한 생성된 군들 중에서 무한 지수의 공첨성 부분군을 가지지만, 균일하게 초지수적으로 성장하는 슈라이어 그래프가 없는 경우는 존재하는가?

주요 결과

• 콤팩트 공간 위에서 대칭 전체군의 작용은 다음 두 가지 중 하나를 만족한다: 어떤 점에서 원소의 미분이 항상 자명하지 않은 경우, 또는 기저 군oids의 (단순화된) 거듭제곱에서 유도된 경우.
• 카일리 그래프 기하학적 성질을 만족하는 광범위한 군oids의 클래스에 대해, 그 전체군 간의 모든 임베딩은 군oids 준동형사상에 의해 유도된다.
• 에탈 군oids의 궤도 성장과 복잡도 함수는 전체군 간의 임베딩 존재를 효과적으로 차단한다.
• 논문은 카바티 위상에서 항등원에 대해 수렴하지 않는 공轭류를 가지는 전체군의 부분군을 특성화한다.
• 저자는 처음으로 무한 지수의 공첨성 부분군을 가지지만, 균일하게 초지수적으로 성장하는 슈라이어 그래프가 없는 유한 생성된 군의 예를 제시한다.
• 결과는 기존의 전체군 간 동형사상 강성 결과를 더 넓은 범위의 임베딩으로 일반화하여, 새로운 형태의 위상적 강성을 확립한다.