[논문 리뷰] Rigidity of groups of circle diffeomorphisms and Teichmüller spaces

Katsuhiko Matsuzaki|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 21.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐더 연속적인 도함수를 가진 원판 위의 미분동형사상 군에 대한 강성 결과를 도출한다. 이는 적분 가능하고 힐더 연속적인 테이히뮐러 공간 위에 정의된 위엘-피터슨 계량을 통해 그 군의 작용을 분석함으로써 이루어지며, 이러한 군이 등급을 유지하는 동형사상 아래 모비우스 군으로의 공역이 존재하는 충분조건을 제시한다.

ABSTRACT

We consider deformations of a group of circle diffeomorphisms with Hölder continuous derivatives in the framework of quasiconformal Teichmüller theory and show certain rigidity under conjugation by symmetric homeomorphisms of the circle. As an application, we give a condition for such a diffeomorphism group to be conjugate to a Möbius group by a diffeomorphism of the same regularity. The strategy is to find a fixed point of the group which acts isometrically on the integrable Teichmüller space with the Weil-Petersson metric.

연구 동기 및 목표

• 대칭 호메오모르피즘에 의한 공역을 통한 힐더 연속적인 도함수를 가진 원판 위의 미분동형사상 군의 강성을 조사하는 것.
• 같은 정규성의 미분동형사상에 의한 공역을 통한 이러한 군이 모비우스 군으로 공역 가능할 조건을 규명하는 것.
• 위엘-피터슨 계량을 갖춘 적분 가능 테이히뮐러 공간에서 군 작용에 의해 고정점이 존재하는 것을 확립하는 것.
• 모비우스 변환에 대한 $ C^{1+\alpha} $ 미분동형사상의 공간 $ T_0^\alpha $ 을 포함하는 쿼드라컨폼 테이히뮐러 이론의 프레임워크를 확장하는 것.
• 적분 가능 벨트라미 계수의 공간 위에 $ p $-위엘-피터슨 계량을 정의하고, 이 계량을 테이히뮐러 공간 위의 편미분 기하학으로 분석하는 것.

제안 방법

• 일반 테이히뮐러 공간 $ T $ 위에서 쿼시심메트릭 군 $ \operatorname{QS} $ 의 작용을 이용하며, 이를 $ \operatorname{M\ddot{o}b}(\mathbb{S}^1)\backslash \operatorname{QS} $ 와 동일시한다.
• 원판 위의 $ C^{1+\alpha} $ 미분동형사상에 대응하는 부분공간으로서 $ T_0^\alpha = \operatorname{M\ddot{o}b}(\mathbb{S}^1)\backslash \operatorname{Diff}^{1+\alpha}_+(\mathbb{S}^1) $ 를 도입한다.
• 경계 근처에서 $ O(t^\alpha) $ 의 감쇠를 가지는 벨트라미 계수의 공간 $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ 를 정의하며, 이 공간의 테이히뮐러 사영 영상이 $ T_0^\alpha $ 를 이룬다.
• 베르스 임bedding 과 색시안 도함수의 $ L^p $-노름을 이용하여, $ p $-적분 가능 벨트라미 계수의 공간 $ T^p $ 위에 $ p $-위엘-피터슨 계량 $ d_{WP}^p $ 을 구성한다.
• 벨트라미 계수의 균일한 유계성과 도미네이티드 수렴 정리를 이용하여, 오른쪽 이동 사상 $ R^*_\varphi $ 의 미분의 수렴 추정을 통해 $ p $-위엘-피터슨 계량의 연속성을 증명한다.
• 수렴 추정과 $ \|\mu_n\|_p $ 의 균일한 추정을 이용하여, 수렴에 기반해 메트릭이 잘 정의되고 연속적임을 보이며, $ \|\mu_{i-1}\|_\infty $ 의 감쇠에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $ C^{1+\alpha} $ 원판 위의 미분동형사상 군이 $ C^{1+\alpha} $ 미분동형사상에 의한 공역을 통해 모비우스 군으로 공역 가능할 수 있는가?
• RQ2 적분 가능 테이히뮐러 공간 $ T_0^\alpha $ 에서 $ C^{1+\alpha} $ 미분동형사상 군의 작용이 위엘-피터슨 계량 하에 고정점을 가질 수 있는가?
• RQ3 $ p $-위엘-피터슨 계량은 $ p $-적분 가능 벨트라미 계수의 공간에서 어떻게 행동하는가? 그리고 이 계량은 연속적인가?
• RQ4 벨트라미 계수의 경계 근처에서의 감쇠율과 해당하는 미분동형사상의 정규성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 군이 $ T_0^\alpha $ 에 등급을 유지하는 작용을 할 경우, 이는 공역 문제에서 어떤 정도의 강성을 암시하는가?

주요 결과

• 군 $ G \subset \operatorname{Diff}^{1+\alpha}_+(\mathbb{S}^1) $ 가 적분 가능 테이히뮐러 공간 $ T_0^\alpha $ 에 고정점을 가지는 것은, 위엘-피터슨 계량을 갖춘 $ T_0^\alpha $ 에 등급을 유지하는 작용을 할 때에 한하여 성립한다.
• 수렴 추정에 의해, $ \varphi \to 0 $ 일 때 미분 $ d_\varphi R^*_\varphi $ 가 $ L^p $-노름에서 항등원으로 수렴함을 보여 $ p $-위엘-피터슨 계량 $ d_{WP}^p $ 이 $ T^p $ 에서 연속적임을 증명한다.
• 모든 $ \widetilde{\varepsilon} > 0 $ 에 대해 충분히 작은 $ \varphi $ 에 대해, 오른쪽 이동의 미분과 항등원의 차이의 $ p $-노름이 $ 3\widetilde{\varepsilon} $ 이하로 유계임을 보이며, 이는 연속성을 증명한다.
• 모든 $ \mu_n \in \operatorname{Ael}^p(\mathbb{D}) $ 에 대해 $ \pi(\mu_n) = \tau_n = \tau $ 이면, $ \|\mu_n\|_p \leq C'\delta_p n $ 이 성립하며, 여기서 $ C' $ 은 $ n $ 에만 의존한다. 이는 메트릭과 벨트라미 계수의 성장 간의 연결 고리를 제공한다.
• 미분 $ d_\varphi R^*_\varphi $ 는 $ \varphi \to 0 $ 일 때 $ \|d_\varphi R^*_\varphi(\psi) - \psi\|_p \to 0 $ 를 만족하며, 도미네이티드 수렴 정리와 균일 유계성에 의해 메트릭의 연속성이 확인된다.
• $ d_{WP}^p $ 는 $ T^p $ 위에 잘 정의된 편미분 기하학적 메트릭이며, 색시안 도함수의 $ L^p $-노름이 구성 및 연속성 증명에서 중심적인 역할을 한다.