[논문 리뷰] Rigidity of Julia sets for Henon type maps

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 56인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복소 2차원에서의 헨론 유형 사상과 컴acts Kähler 다양체 위의 자기사상에 대해 줄리아 집합의 강성( rigidity )을 증명한다. 이를 통해 Green 코어스터 $T_+$ 는 줄리아 집합에 지지된 유일한 양의 $dd^c$-닫힘된 $(1,1)$-형식으로서 질량 1을 가지며, 이 결과는 고차원 동역학으로 확장되며 복소다양체 위의 다항형사상과 Kähler 다양체 위의 자기사상에 대한 응용을 포함한다. 이는 복소다양체 동역학에서 등분포 이론과 네바린나 이론에 응용된다.

ABSTRACT

We prove that the Julia set of a Henon type automorphism on C^2 is very rigid: it supports a unique positive ddc-closed current of mass 1. A similar property holds for the cohomology class of the Green current associated with an automorphism of positive entropy on a compact Kaehler surface. Relations between this phenomenon, several quantitative equidistribution properties and the theory of value distribution will be discussed. We also survey some rigidity properties of Henon type maps on C^k and of automorphisms of compact Kaehler manifolds.

연구 동기 및 목표

• 복소 2차원에서의 헨론 유형 사상에 대해 줄리아 집합에 지지된 유일한 양의 $dd^c$-닫힘된 $(1,1)$-형식으로서 질량 1을 가지는 그린 코어스터스터 $T_+$ 의 유일성을 확립하는 것.
• 양의 엔트로피를 가진 컴팩트 Kähler 표면 위의 자기사상에 대해, 그린 코어스터스터가 그 코homology 클래스 내에서 유일함을 증명하는 것.
• 강성, 네바린나 이론, 그리고 반복에 의한 헬름홀로픽 곡선의 등분포 간의 관계를 탐색하는 것.
• 고차원 다항형사상과 차원 $k \geq 2$ 인 컴팩트 Kähler 다양체 위의 자기사상으로 강성 결과를 일반화하는 것.
• 코homology 거리에 따라 코어스터스터가 그린 코어스터스터로 수렴하는 속도에 대한 정량적 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 복소다양체 위의 양의 닫힌 코어스터스터스터를 분석하기 위해 복소다양체 이론과 슈퍼포텐셜 기법을 사용하는 것.
• 줄리아 집합 $K_+$ 에 지지된 유일한 코어스터스터스터를 특징짓기 위해 $dd^c$-닫힘 조건을 적용하는 것.
• 적절한 가중치를 가진 헬름홀로픽 사상 $\phi: \mathbb{C} \to K_+$ 를 평균화하여 네바린나 코어스터스터스터 $\tau_r$ 를 구성하는 것.
• 유도된 작용 $f^*$ 가 $H^{q,q}(X,\mathbb{R})$ 에서의 코homological 추정과 스펙트럼 분석을 사용하여 강성을 증명하는 것.
• 코homology 클래스 간의 거리 $\|c - c_+\|$ 를 이용하여 수렴 속도의 정량적 추정을 유도하는 것.
• Gromov, Yomdin 등이 제시한 동역학적 차수의 로그-볼록성과 Betti 수를 통한 엔트로피 추정에 기반한 결과를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 2차원에서의 헨론 유형 사상에 대해, 줄리아 집합에 지지된 유일한 양의 $dd^c$-닫힘된 $(1,1)$-형식으로서 질량 1을 가지는 그린 코어스터스터스터 $T_+$ 는 유일한가?
• RQ2 그린 코어스터스터스터의 유일성은 컴팩트 Kähler 표면 위의 자기사상으로 확장될 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 코homological 조건에서 성립하는가?
• RQ3 헬름홀로픽 사상 $\phi: \mathbb{C} \to X$ 와 관련된 네바린나 코어스터스터스터 $\tau_r$ 가 그린 코어스터스터스터 $T_+$ 로 수렴하는 정도는 어느 정도이며, 이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 그린 코어스터스터스터의 코homological 강성은 $f^*$ 가 코homology 에서 가지는 동역학적 차수와 스펙트럼 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 코homology 거리에 따라 코어스터스터스터가 그린 코어스터스터스터로 수렴하는 속도에 대한 정량적 추정은 무엇인가?

주요 결과

• 헨론 유형 사상에 대해 복소 2차원에서의 그린 코어스터스터스터 $T_+$ 는 줄리아 집합 $K_+$ 에 지지된 유일한 양의 $dd^c$-닫힘된 $(1,1)$-형식으로서 질량 1을 가진다.
• 양의 엔트로피를 가진 컴팩트 Kähler 표면 위의 자기사상에 대해, $T_+$ 는 그 코homology 클래스 $\{T_+\}$ 내에서 유일한 양의 $dd^c$-닫힘된 코어스터스터스터스터이다.
• 만약 $\phi: \mathbb{C} \to X$ 가 $\phi^*(T_+) = 0$ 를 만족한다면, 관련된 네바린나 코어스터스터스터 $\tau_r$ 는 $r \to \infty$ 일 때 $T_+$ 로 수렴한다.
• 정량적 추정이 확립되었으며, $\varphi$ 가 $\mathscr{C}^2$ 테스트 형식일 때 다음이 성립한다: $|\langle S - T_+, \varphi \rangle| \leq A\|c - c_+\|^\alpha \|\varphi\|_{\mathscr{C}^2}$.
• $d_2 < d_1^2$ 조건이 성립할 경우, $(1,1)$-형식의 그린 코어스터스터스터는 스케일링을 제외하고 유일하며, 그 코homology 클래스는 매우 강성이 있다.
• 사상 $f$ 의 위상적 엔트로피는 $\log d_p$ 이며, $f$ 는 유일한 최대 엔트로피 측도를 가지며 이는 지수적으로 혼합된다.