[논문 리뷰] Rigidity of manifolds with boundary under a lower Bakry-E'mery Ricci curvature bound

Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 리만다이안 다양체에 대해 바크리-에메리 리치 곡률 하한과 $f$-평균 곡률 하한 조건 하에서 강성 정리들을 수립한다. 가중 비교 기하학과 스펙트럼 분석을 통해 내접 반경이 모델 공간의 반경 이하로 제한됨을 증명하며, 등호가 성립할 경우 그 다양체가 해당 모델 공간과 등장함을 보인다. 또한 가중 $p$-라플라시안의 첫 번째 고유값에 대해 날카운 하한을 도출하여 고전 결과를 경계가 있는 가중 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

We study Riemannian manifolds with boundary under a lower Bakry-E'mery Ricci curvature bound. In our weighted setting, we prove several rigidity theorems for such manifolds with boundary. We conclude a rigidity theorem for the inscribed radii, a volume growth rigidity theorem for the metric neighborhoods of the boundaries, and various splitting theorems. We also obtain rigidity results for the smallest Dirichlet eigenvalues for the weighted p-Laplacians.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 다양체에 대한 고전적 강성 결과를 바크리-에메리 리치 곡률 하한 조건 하에서 가중 설정으로 확장하는 것.
• 곡률 및 $f$-평균 곡률 조건 하에서 경계가 있는 다양체의 내접 반경에 대한 날카운 상한을 수립하는 것.
• 이러한 다양체에서의 체적 성장 및 스펙트럼 강성 결과를 가중 $p$-라플라시안에 대해 도출하는 것.
• 헤이트체-카르커 및 카수에 유형의 강성 정리를 매끄러운 가중 함수 $f$ 가 있는 가중 설정으로 일반화하는 것.
• 내접 반경 및 고유값 추정에서 등호가 성립하는 경우를 특성화하여 그 다양체가 모델 공간과 등장함을 보이는 것.

제안 방법

• 완전한 경계가 있는 리만다이안 다양체에서 바크리-에메리 리치 곡률 $\operatorname{Ric}^N_f \geq (N-1)\kappa$ 와 $f$-평균 곡률 $H_{f,\partial M} \geq (N-1)\lambda$ 를 정의한다.
• 모델 공간 $B^n_{\kappa,\lambda}$ 를 정의한다. 이는 공간형 $M^n_\kappa$ 안의 지오데식 공이며, 일정한 $f$-평균 곡률 $(n-1)\lambda$ 를 가지며, 그 반경을 $C_{\kappa,\lambda}$ 로 정의한다.
• 초기 조건 $\phi(0) = 1$, $\phi'(0) = -\lambda$ 를 가진 자코비 방정식 $\phi''(t) + \kappa\phi(t) = 0$ 을 사용하여 $s_{\kappa,\lambda}(t)$ 를 정의하고, 그 첫 번째 양의 영점이 $C_{\kappa,\lambda}$ 를 주는 방식으로 정의한다.
• 가중 측도 $m_f = e^{-f} \operatorname{vol}_g$ 와 가중 거리 함수 $\rho_{\partial M}(p) = d_M(p, \partial M)$ 를 분석하여 비교 정리를 수립한다.
• 이sovolumetric 유사 부등식을 도출한다: $\Omega$ 가 $\partial\Omega \cap \partial M = \emptyset$ 를 만족할 경우 $m_f(\Omega) \leq m_{f,\partial\Omega}(\partial\Omega) \cdot C(N,\kappa,\lambda,D)$.
• 레이일리 몫에 대해 가중 푸앵카레 부등식과 헬더 부등식을 적용하여 가중 $p$-라플라시안의 첫 번째 고유값 $\mu_{f,1,p}(M)$ 에 대한 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바크리-에메리 리치 곡률 하한과 $f$-평균 곡률 하한 조건 하에서 내접 반경 $D(M, \partial M)$ 의 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ2 내접 반경 추정에서 등호가 성립할 경우, 어떤 조건에서 다양체가 모델 지오데식 공과 등장함을 보장하는가?
• RQ3 곡률 및 경계 조건 하에서 가중 $p$-라플라시안의 첫 번째 고유값에 대한 날카운 하한은 무엇인가?
• RQ4 이러한 곡률 하한 조건 하에서 경계의 메트릭 이웃 영역의 체적 성장은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $N=\infty$ 경우에서 비음성 바크리-에메리 리치 곡률과 $f$-평균 곡률 조건 하에서 어떤 스펙트럼 강성 결과가 성립하는가?

주요 결과

• 내접 반경은 $D(M, \partial M) \leq C_{\kappa,\lambda}$ 를 만족하며, 여기서 $C_{\kappa,\lambda}$ 는 공간형 $M^n_\kappa$ 에서 일정한 $f$-평균 곡률 $(n-1)\lambda$ 를 가지는 지오데식 공의 반경이다.
• 내접 반경 추정에서 등호가 성립하는 것은 $(M,d_M)$ 이 $B^n_{\kappa,\lambda}$ 과 등장함이며, $N=n$ 이며, $f$ 가 $M$ 상에서 일정함과 동치이다.
• $N \in [n,\infty)$ 인 경우, 가중 $p$-라플라시안의 첫 번째 고유값은 $\mu_{f,1,p}(M) \geq (p \cdot C(N,\kappa,\lambda,D))^{-p}$ 를 만족하며, 여기서 $D = D(M, \partial M)$ 이다.
• $N=\infty$ 인 경우, $\mu_{f,1,p}(M) \geq (pD)^{-p}$ 이며, 등호는 $D=\infty$, $\partial M$ 이 컴acts, 그리고 $M$ 이 $[0,\infty) \times_{\kappa,\lambda} \partial M$ 과 등장함일 때에만 성립한다.
• $\kappa < 0$ 이고 $\lambda = \sqrt{|\kappa|}$ 인 경우, 상수 $C(N,\kappa,\lambda,D)$ 는 $\left((N-1)\lambda\right)^{-1} \left(1 - e^{-(N-1)\lambda D}\right)$ 로 단순화되며, $D \to \infty$ 일 때 $((N-1)\lambda)^{-1}$ 으로 증가한다.
• 고유값 추정에서 등호가 성립하면, 반사 지오데식을 따라 $f \circ \gamma_x(t) = f(x) + (N-n)\lambda t$ 가 성립함을 보여, 모델 공간의 구조가 확인된다.