[논문 리뷰] Rigorous Asymptotic Models of Water Waves

C. H. Arthur Cheng, Rafael Granero-Belinchón외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 30.

Ocean Waves and Remote Sensing참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 오일러 방정식에서 각각 제곱 및 세제곱 비선형 상호작용을 포착하는 두 가지 새로운 수면파 모델—이차 및 삼차 $h$-모델—에 대한 엄밀한 점근적 유도를 제시한다. 파장의 비율 $\epsilon$에 대한 스토크스 전개를 통해, 저류, 유선함수, 자유수면 진화에 대한 선형 재귀 관계를 유도하고, 카탈란 수의 증가율을 이용하여 해석 함수 공간에서의 적절성을 증명하며 오차 한계를 설정한다; 수치 결과는 높은 비탈도에서도 완전한 수면파 해와 뛰어난 일치를 보이며, 모서리 형성까지 포함한다.

ABSTRACT

We develop a rigorous asymptotic derivation for two mathematical models of water waves that capture the full nonlinearity of the Euler equations up to quadratic and cubic interactions, respectively. Specifically, letting epsilon denote an asymptotic parameter denoting the steepness of the water wave, we use a Stokes expansion in epsilon to derive a set of linear recursion relations for the tangential component of velocity, the stream function, and the water wave parameterization. The solution of the water waves system is obtained as an infinite sum of solutions to linear problems at each epsilon^k level, and truncation of this series leads to our two asymptotic models, that we call the quadratic and cubic h-models. Using the growth rate of the Catalan numbers (from number theory), we prove well-posedness of the h-models in spaces of analytic functions, and prove error bounds for solutions of the h-models compared against solutions of the water waves system. We also show that the Craig-Sulem models of water waves can be obtained from our asymptotic procedure and that their WW2 model is well-posed in our functional framework. We then develop a novel numerical algorithm to solve the quadratic and cubic h-models as well as the full water waves system. For three very different examples, we show that the agreement between the model equations and the water waves solution is excellent, even when the wave steepness is quite large. We also present a numerical example of corner formation for water waves.

연구 동기 및 목표

• 오일러 방정식의 전체 비선형성을 제곱 및 세제곱 상호작용까지 포착하는 수학적으로 엄밀한 점근 모델을 개발하는 것.
• 파장의 비율 $\epsilon$에 대한 스토크스 전개를 통해 시간에 따라 변하는 유체 영역 공식을 사용하여 이차 및 삼차 $h$-모델을 유도하는 것.
• 카탈란 수의 증가율을 이용하여 해석 함수 공간에서 $h$-모델의 잘 정의됨을 증명하는 것.
• $h$-모델의 해와 완전한 수면파 시스템 사이의 정량적 오차 한계를 설정하는 것.
• 완전한 오일러 방정식과의 수치적 검증을 통해, 모서리 형성과 같은 극단적 파동 구조까지도 모델 정확도를 확인하는 것.

제안 방법

• 파장의 비율 파arameter $\epsilon$에 대한 스토크스 전개를 수면파 시스템에 적용하여, 각 $O(\epsilon^k)$ 차수에서 유선함수, 접선 속도, 자유수면 매개변수화에 대한 선형 재귀 관계를 도출한다.
• 무한 급수를 $O(\epsilon^3)$에서 잘라내어 이차 $h$-모델을, $O(\epsilon^4)$에서 잘라내어 삼차 $h$-모델을 유도하며, 둘 다 헬름홀츠 변환 $H$와 분수 라플라스 연산자 $\Lambda$를 포함하는 비선형 편미분 방정식으로 표현된다.
• 카탈란 수의 증가율을 이용하여 해석 함수 공간에서의 해의 수렴성을 제어함으로써, 해석 함수 공간에서의 잘 정의됨을 증명한다.
• 점근 전개의 나머지 항을 추정하여 $h$-모델과 완전한 수면파 시스템 사이의 오차 한계를 유도한다.
• 스펙트럼 방법과 적응형 해상도를 갖춘 시간적 적분 기법을 사용하여, $h$-모델과 완전한 수면파 시스템을 모두 해결할 수 있는 새로운 수치 알고리즘을 개발한다.
• 세 가지 다른 파동 구조에 대해 수치적 비교를 수행하였으며, 이는 파동의 역전 및 모서리 형성과 같은 경우를 포함한다. 이는 모델 정확도를 검증하기 위함이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수면파에서 세제곱 비선형 상호작용까지 포착하는 엄밀한 점근적 절차를 개발할 수 있는가?
• RQ2 이러한 점근적 모델이 해석 함수 공간에서 잘 정의됨을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 $h$-모델의 해와 완전한 수면파 시스템의 해 사이의 정량적 오차는 무엇인가?
• RQ4 크래이그-술레姆 WW2 모델은 이 점근적 프레임워크에서 복원 가능한가? 그리고 동일한 함수 공간 설정에서 잘 정의됨이 증명되는가?
• RQ5 $h$-모델은 높은 비탈도에서도 모서리 형성과 같은 복잡한 파동 역학을 정확히 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 이차 $h$-모델은 ${\partial_t^2 h + g\Lambda h = -\Lambda(|H\partial_t h|^2) + g\Lambda(h\Lambda h) + g\partial_1(h\partial_1 h)$로 유도되며, 제곱 비선형성을 포착한다.
• 삼차 $h$-모델은 $H\partial_t h$, $\Lambda h$ 및 그들의 곱을 포함하는 항들의 조합으로 이루어진 추가적인 세제곱 비선형성 $\mathcal{Q}(h)$를 포함한다.
• 카탈란 수의 증가율을 활용하여 해석 함수 공간에서 두 $h$-모델의 잘 정의됨이 증명된다.
• $h$-모델과 완전한 수면파 해 사이의 오차 한계가 설정되었으며, 이는 높은 파장 비율에서도 높은 정확도를 보임을 시사한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 세 가지 시험 케이스 모두에서 $h$-모델과 완전한 수면파 시스템 사이에 뛰어난 일치가 관찰되었으며, 이는 모서리 형성과 함께 한 파동에서도 성립한다.
• 크래이그-술레姆 WW2 모델이 동일한 점근적 절차에서 복원 가능하며, 동일한 해석적 프레임워크 내에서 잘 정의됨이 증명되었다.