[논문 리뷰] Rigorous data-driven computation of spectral properties of Koopman operators for dynamical systems

Matthew J. Colbrook, Alex Townsend|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 29.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 궤적 데이터에서 코프만 연산자의 스펙트럼 성질을 계산하기 위한 데이터 기반 알고리즘인 잔차 동적 모드 분해(ResDMD)를 소개한다. 이 알고리즘은 철저한 수렴 보장과 함께 스펙트럼, 가짜 스펙트럼, 스펙트럼 측도를 스펙트럼 오염 없이 정확하게 계산할 수 있다. 이는 혼돈 시스템과 고차원 동역학에 대해서도 오차 한계를 제공한다.

ABSTRACT

Koopman operators are infinite-dimensional operators that globally linearize nonlinear dynamical systems, making their spectral information valuable for understanding dynamics. However, Koopman operators can have continuous spectra and infinite-dimensional invariant subspaces, making computing their spectral information a considerable challenge. This paper describes data-driven algorithms with rigorous convergence guarantees for computing spectral information of Koopman operators from trajectory data. We introduce residual dynamic mode decomposition (ResDMD), which provides the first scheme for computing the spectra and pseudospectra of general Koopman operators from snapshot data without spectral pollution. Using the resolvent operator and ResDMD, we compute smoothed approximations of spectral measures associated with general measure-preserving dynamical systems. We prove explicit convergence theorems for our algorithms, which can achieve high-order convergence even for chaotic systems when computing the density of the continuous spectrum and the discrete spectrum. Since our algorithms come with error control, ResDMD allows aposteri verification of spectral quantities, Koopman mode decompositions, and learned dictionaries. We demonstrate our algorithms on the tent map, circle rotations, Gauss iterated map, nonlinear pendulum, double pendulum, and Lorenz system. Finally, we provide kernelized variants of our algorithms for dynamical systems with a high-dimensional state space. This allows us to compute the spectral measure associated with the dynamics of a protein molecule with a 20,046-dimensional state space and compute nonlinear Koopman modes with error bounds for turbulent flow past aerofoils with Reynolds number $>10^5$ that has a 295,122-dimensional state space.

연구 동기 및 목표

• 비선형 동역학계에서 코프만 연산자의 스펙트럼 성질을 계산하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해, 특히 스펙트럼이 연속적이거나 무한차원일 경우에 대비한다.
• 스펙트럼 오염을 피하고 스펙트럼 측도 및 고유값에 대해 엄밀한 수렴 보장을 제공하는 데이터 기반 알고리즘을 개발한다.
• 계산 가능한 오차 한계를 통해 코프만 모드 분해와 학습된 딕셔너리의 사후 검증을 가능하게 한다.
• 커널 기반 변형을 통해 고차원 시스템, 예를 들어 난류 흐름과 분자 동역학과 같은 시스템의 스펙트럼 계산을 확장한다.

제안 방법

• 잔차 동적 모드 분해(ResDMD)를 도입하여, 스펙트럼 오염 없이 스냅샷 데이터로부터 코프만 연산자의 스펙트럼과 가짜 스펙트럼을 계산하는 새로운 기법을 제시한다.
• 측도를 유지하는 동역학계에 대해 스펙트럼 측도의 스무딩된 근사를 위해 해리플로우 연산자를 사용한다.
• 유한차원 부분공간에서 코프만 연산자의 투영 기반 근사를 사용하며, 오차 항 δ₁(NK), δ₂(NK), δ₃(NK)을 통해 수렴을 제어한다.
• 해리플로우 항등식과 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 해리플로우를 포함하는 내적에 대한 명시적 오차 한계를 유도한다.
• 일반화된 슈르 분해를 요구하지 않으며 O(NK²) 연산으로 오차 한계를 계산하여 Nₖ의 적응적 개선이 가능하다.
• 고차원 상태공간, 예를 들어 20,046차원 단백질 동역학과 295,122차원 난류 흐름을 다룰 수 있도록 커널 기반 변형을 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 궤적 데이터로부터 코프만 연산자의 스펙트럼 성질을 엄밀한 수렴 보장과 오차 제어로 계산할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 동역학계에서 코프만 연산자의 스펙트럼과 가짜 스펙트럼을 계산할 때 스펙트럼 오염을 어떻게 방지할 수 있는가?
• RQ3 데이터 기반 방법을 통해 연속 스펙트럼을 가진 시스템의 스펙트럼 측도를 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ4 혼돈 시스템에서, 특히 연속 스펙트럼의 밀도를 계산할 때 알고리즘의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ5 오차 한계와 계산 가능성 유지 조건에서 고차원 시스템으로의 방법 확장을 어떻게 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• ResDMD는 일반 코프만 연산자에 대해 스펙트럼 오염 없이 스펙트럼과 가짜 스펙트럼을 계산하는 첫 번째 데이터 기반 방법을 제공한다.
• 혼돈 시스템에서 연속 스펙트럼의 밀도와 이산 스펙트럼을 계산할 때도 고차수의 수렴을 달성한다.
• 명시적 오차 한계가 도출되었으며 O(NK²) 연산으로 계산 가능하여 스펙트럼 양상과 코프만 모드 분해의 사후 검증이 가능하다.
• 이 방법은 텐트 맵, 원운동, 가우스 반복 맵, 비선형 단순진자, 이중진자, 로렌츠 시스템과 같은 시스템의 스펙트럼 측도를 계산할 수 있다.
• 커널 기반 ResDMD는 레이놀즈 수 >10⁵에서 날개 뒤 난류 흐름에 대해 비선형 코프만 모드를 오차 한계와 함께 계산할 수 있게 하며, 295,122차원 상태공간을 다룰 수 있다.
• 20,046차원 단백질 분자에 대해서는 커널 기반 알고리즘이 엄밀한 오차 제어를 통해 관련 스펙트럼 측도를 계산한다.