[논문 리뷰] Rings of definition of smooth and proper dg-algebras

B. Toen|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가환환의 필터링된 합집합 위에서의 매끄럽고 올바른 dg-대수의 호모토피 이론이 해당 가환환의 성분들 위에서의 호모토피 이론들의 합집합과 동치임을 확립한다. 핵심 결과는 임의의 가환환 $k$ 위에서 매끄럽고 올바른 dg-대수들이 모두 유한형 $ℤ$-대수 위에서 정의될 수 있음을 보여주며, 칼레딘의 추측을 확인함으로써 양의 특성의 기법을 유도 대수기하학에 적용할 수 있게 한다.

ABSTRACT

This is a companion paper to math.AT/0609762. For a filtered colimit of commutative rings k=colim k_i, we prove that the homotopy theory of smooth and proper dg-algebras over k is the colimit of the homotopy theories of smooth and proper dg-algebras over k_i. As a consequence, we deduce that any smooth and proper dg-algebra can be defined over a commutative Z-algebra of finite type.

연구 동기 및 목표

• 가환환의 필터링된 합집합 위에서 매끄럽고 올바른 dg-대수의 유한성 성질을 확립하기 위해.
• Conjecture [Ka, 5.3]에서 제기된 이러한 dg-대수의 유한 정의 가능성 문제를 해결하기 위해.
• 기저 환의 필터링된 합집합에 대해 매끄럽고 올바른 dg-대수의 호모토피 이론이 가환환의 필터링된 합집합과 가환함을 보여주기 위해.
• 매끄럽고 올바른 dg-대수의 모듈리 스택의 국소적 유한형성(지오메트릭성)을 증명함으로써 그 기하학적 성격을 뒷받침하기 위해.
• 양의 특성으로의 환원을 통한 Hodge-to-de Rham 분해 연구를 위한 기초 도구를 마련하기 위해.

제안 방법

• 기저 환으로서 가환환의 필터링된 합집합을 사용하며, $k = \mathrm{colim}_i k_i$로 놓는다.
• 기존에 알려진 호모토피적으로 유한형으로 표현 가능한 dg-대수에 관한 결과와 그들의 매끄럽고 올바름과의 관계를 활용한다.
• dg-대수들 간의 관계를 설정하기 위해 유도 기저 전환 함자 $- \otimes_k^\mathbb{L} k'$ 를 적용한다.
• 기본적으로 $k$-대수 위에서의 완전 복합체와 완전 모듈러스가 유도 기저 전환을 통해 필터링된 합집합을 따라 올라간다는 사실을 활용한다.
• 호모토피 범주 $Ho(k\text{-}dg\text{-}alg)$ 의 카루비 에이펜드 성질을 활용하여 비례적 아이덴트리탈리티의 올림을 다룬다.
• 기저 전환에 따른 완전 모듈러스의 유도 범주 간 동치를 이용하여 본질적 전성(essential surjectivity)을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 매끄럽고 올바른 dg-대수들이 임의의 가환환 $k$ 위에서 정의된 유한형 $ℤ$-대수 위에서 정의될 수 있는가?
• RQ2 기저 환의 필터링된 합집합에 대해 매끄럽고 올바른 dg-대수의 호모토피 이론이 가환환의 필터링된 합집합과 가환하는가?
• RQ3 매끄럽고 올바른 dg-대수의 모듈리 스택은 국소적으로 유한형인가?
• RQ4 매끄럽고 올바른 dg-대수 위에서의 완전 모듈러스의 유도 범주는 유한형 기저에서 올라올 수 있는가?
• RQ5 필터링된 합집합을 따라 기저 전환 함자가 매끄럽고 올바른 성질을 유지하는가?

주요 결과

• 기저 환 $k = \mathrm{colim}_i k_i$ 위에서의 매끄럽고 올바른 dg-대수의 호모토피 이론은 각 $k_i$ 위에서의 호모토피 이론들의 합집합과 동치이다.
• 임의의 가환환 $k$ 위에서 매끄럽고 올바른 dg-대수들은 모두 $ℤ$-대수의 유한형으로 정의될 수 있다.
• 기저 전환 함자 $- \otimes_{k_i}^\mathbb{L} k$ 는 매끄럽고 올바른 dg-대수의 호모토피 범주에 대해 동치를 유도한다.
• 기본적으로 $k$-dg-대수 위에서의 완전 모듈러스는 유도 기저 전환을 통해 필터링된 합집합을 따라 올라간다.
• 기저 환 $k$ 위에서 매끄럽고 올바른 dg-대수의 완전 모듈러스의 유도 범주는 각 $k_i$ 위에서의 이러한 범주의 합집합과 동치이다.
• 매끄럽고 올바른 dg-대수의 모듈리 스택은 국소적으로 유한형이며, 이는 그 기하학적 성격을 뒷받침한다.