[논문 리뷰] Rings Over Which Cyclics are Direct Sums of Projective and CS or Noetherian

Christopher J. Holston, S. K. Jain외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 23.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모든 순환 오른쪽 가군이 프로젝티브 가군과 CS 또는 노터리안 가군의 직합인 가환환을 연구한다. WV-환의 개념을 도입한다—단순 가군이 적절한 순환 몫에 대해 임베딩 가능한 V-환의 일반화—그리고 이러한 환들에 대해 환이 노터리안임과 동시에 모든 순환 가군이 이 분해 성질을 만족함이 동치임을 증명한다. 주요 기여는 프로젝티브 소클을 가진 V-환 위에서 유한 생성 가군의 구조적 분해로, 그 가군은 단순성과 소클이 0인 노터리안 성분으로 나뉜다.

ABSTRACT

R is called a right WV -ring if each simple right R-module is injective relative to proper cyclics. If R is a right WV -ring, then R is right uniform or a right V -ring. It is shown that for a right WV-ring R, R is right noetherian if and only if each right cyclic module is a direct sum of a projective module and a CS or noetherian module. For a finitely generated module M with projective socle over a V -ring R such that every subfactor of M is a direct sum of a projective module and a CS or noetherian module, we show M = X \\oplus T, where X is semisimple and T is noetherian with zero socle. In the case that M = R, we get R = S \\oplus T, where S is a semisimple artinian ring, and T is a direct sum of right noetherian simple rings with zero socle. In addition, if R is a von Neumann regular ring, then it is semisimple artinian.

연구 동기 및 목표

• 모든 순환 오른쪽 가군이 프로젝티브 가군과 CS 또는 노터리안 가군의 직합인 환을 특성화하는 것.
• 단순 가군이 적절한 순환 몫에 대해 임베딩 가능한 성질을 가지는 V-환의 일반화인 WV-환의 개념을 도입하고 연구하는 것.
• 특히 소클과 균일 차원의 역할을 중심으로, 이러한 환이 노터리안이 되는 조건을 규명하는 것.
• 프로젝티브 소클을 가진 V-환 위에서 유한 생성 가군을 단순성과 소클이 0인 노터리안 성분으로 분해하는 것.
• 분해 조건을 만족하는 반데르문-정규 WV-환은 단순 아르틴 환이 되어야 한다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 모든 단순 오른쪽 가군이 임의의 적절한 오른쪽 이상 A에 대해 R/A-임베딩 가능한 환인 WV-환의 개념을 도입한다.
• 성질 (*)를 사용하여, 프로젝티브 가군과 CS 또는 노터리안 가군의 직합인 가군을 기술한다.
• 균일 차원 분석과 본질적 부분가군 이론을 적용하여 순환 가군과 그 부분가군들을 분석한다.
• 기존의 V-환과 코-단순 가군에 관한 결과를 활용하여 가군 분해에 관한 구조 정리를 도출한다.
• 귀납법과 부분가군 격자 분석을 통해 성질 (*)를 만족하는 순환 가군이 노터리안임을 증명한다.
• V-환에서 소클이 프로젝티브일 경우, 비영인 균일 부분가군을 가지지 않는 가군은 반드시 단순임을 응용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 순환 오른쪽 가군이 프로젝티브 가군과 CS 또는 노터리안 가군의 직합인 환에서, 환이 노터리안이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 WV-환은 V-환과 어떻게 다를까? WV-환이 V-환이 아닐 경우 어떤 구조적 제약이 발생하는가?
• RQ3 프로젝티브 소클을 가진 V-환 위에서 유한 생성 가군의 분해는, 모든 부분가군이 (*) 조건을 만족할 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 반데르문-정규 WV-환이 어떤 조건에서 단순 아르틴 환이 되는가?
• RQ5 분해 성질 (*)는 순환 가군의 경우에 한해 환 자체의 구조를 분류하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• WV-환 R에 대해, R가 노터리안임과 동시에 모든 순환 R-가군이 프로젝티브 가군과 CS 또는 노터리안 가군의 직합인 성질 (*)를 만족함은 동치이다.
• R가 V-환이고 모든 순환 R-가군이 (*)를 만족한다면, R = S ⊕ T로 분해되며, 여기서 S는 단순 아르틴 환이고 T는 소클이 0인 단순 노터리안 환의 유한 직합이다.
• 프로젝티브 소클을 가진 V-환 위에서 유한 생성 R-가군 M이 모든 부분가군에서 (*)를 만족한다면, M = X ⊕ T로 분해되며, X는 단순이고 T는 소클이 0인 노터리안이다.
• 반데르문-정규 WV-환이 모든 순환 가군에 대해 (*)를 만족한다면, 반드시 단순 아르틴 환이다.
• R가 WV-확인 데 V-환이 아니면, R는 균일하며, 이러한 경우 순환 가군의 유일한 프로젝티브 부분가군은 0뿐이다.
• 프로젝티브 소클을 가진 V-환 위에서 순환 가군의 소클은 임베딩 가능하고 유한 생성되며, 이는 단순성과 소클이 0인 노터리안 성분으로의 직접 분해를 이끈다.