[논문 리뷰] Risk assessment for uncertain cash flows: Model ambiguity, discounting ambiguity, and the role of bubbles

Beatrice Acciaio, Hans Foellmer외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 19.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 확률적 모델과 할인 요소의 이중적 불확실성 하에서 동적 현금흐름의 위험 평가를 위한 강건한 프레임워크를 개발한다. 이는 확률적 과정에 대한 동적 볼록 위험 측도를 통해 모델의 모호성과 할인의 모호성을 통합함으로써 이루어지며, 시간 일致성의 초과마팅게일 특성화를 수립하고, 보상 과정의 마팅게일 성분인 '버블'을 통해 渐近적 안정성 붕괴의 원인을 규명한다. 이는 모호성 하에서의 위험 평가에 있어 치명적인 불안정성을 드러낸다.

ABSTRACT

We study the risk assessment of uncertain cash flows in terms of dynamic convex risk measures for processes as introduced in Cheridito, Delbaen, and Kupper (2006). These risk measures take into account not only the amounts but also the timing of a cash flow. We discuss their robust representation in terms of suitably penalized probability measures on the optional sigma-field. This yields an explicit analysis both of model and discounting ambiguity. We focus on supermartingale criteria for different notions of time consistency. In particular we show how bubbles may appear in the dynamic penalization, and how they cause a breakdown of asymptotic safety of the risk assessment procedure.

연구 동기 및 목표

• 불확실한 현금흐름을 평가할 때 확률 모델과 할인 요소의 동시 불확실성을 다루기 위해.
• 시계열적 현금흐름의 시점과 규모를 모두 반영하는 동적이고 과정 기반의 볼록 위험 측도로의 확장하기 위해.
• 보상 및 위험 과정의 초과마팅게일 성질을 통해 동적 위험 측도의 시간 일치성을 특성화하기 위해.
• 보상 과정의 마팅게일 성분인 '버블'의 발생과 그로 인한 渐近적 안정성 붕괴 메커니즘을 규명하고 분석하기 위해.
• 옵셔널 σ-필드 위의 측도에 대한 확률적 분해를 통해 모델 불확실성과 할인 불확실성을 분리하기 위해.

제안 방법

• 현금흐름을 공동 확률 공간 위의 랜덤 변수로 다룰 수 있도록, $\bar{\Omega} = \Omega \times \mathbb{T}$ 의 제품 공간 표현과 옵셔널 σ-필드를 사용한다.
• 옵셔널 σ-필드 위의 절대 연속 측도에 대해 $\bar{Q} = Q \otimes D$ 의 분해를 적용하며, 여기서 $Q$ 는 모델 모호성을, $D$ 는 할인 모호성을 기반으로 한다.
• 측도 집합 $\bar{Q} = Q \otimes D$ 에 대한 벌금 기반 기대값을 통해 동적 볼록 위험 측도의 강건한 표현을 도출함으로써, 모델 및 할인 불확실성의 동시 모델링을 가능하게 한다.
• 할인된 보상 및 위험 과정의 초과마팅게일 성질을 통해 시간 일치성을 특성화하며, 랜덤 변수에 대한 고전 결과와 유사한 해석을 시도한다.
• 리에즈 분해를 활용해 보상 과정의 마팅게일 성분을 식별하고, 이를 '버블'로 해석함으로써 渐近적 안정성 붕괴의 원인을 규명한다.
• 제품 공간 위의 조건부 기대값 공식을 사용하여 $\mathbb{E}_{\bar{Q}}[X|\bar{\mathcal{F}}_t]$ 를 $Q$-조건부 기대값과 할인 과정 $D$ 에 따라 명시적으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델 및 할인 불확실성이 동시에 존재할 경우, 동적 볼록 위험 측도는 어떻게 강건하게 표현될 수 있는가?
• RQ2 옵셔널 σ-필드와 제품 공간의 구조는 모호성 하에서 시간에 따라 변화하는 현금흐름을 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 할인된 보상 과정의 초과마팅게일 성질은 동적 위험 평가에서 시간 일치성을 어떻게 보장하는가?
• RQ4 보상 과정의 마팅게일 성분으로 정의되는 '버블'은 어떻게 발생하며, 위험 평가의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 두 측도 $\bar{Q}^1$ 과 $\bar{Q}^2$ 가 $\bar{\mathcal{F}}_t$ 에서 일致할 조건은 무엇이며, 이는 $Q$ 와 $\gamma$ 가 $\mathcal{F}_t$ 와 $s < t$ 에서 일치하는 것과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 과정에 대한 동적 볼록 위험 측도의 강건한 표현은 $\bar{Q} = Q \otimes D$ 의 분해를 포함하며, 이는 $Q$ 를 통해 모델 모호성을, $D$ 를 통해 할인 모호성을 명시적으로 분리한다.
• 동적 위험 측도의 시간 일치성은 할인된 보상 및 위험 과정의 초과마팅게일 성질을 통해 특성화되며, 이는 고전 결과를 과정 설정으로 확장한 것이다.
• 할인된 보상 과정의 리에즈 분해에서 마팅게일 성분이 나타나는 것은 '버블'에 해당하며, 이는 위험 평가의 渐近적 안정성 붕괴를 초래한다.
• 제품 공간 위의 조건부 기대값 공식이 유도되었으며, 다음과 같다: $\mathbb{E}_{\bar{Q}}[X|\bar{\mathcal{F}}_t] = X_0 1_{\{0\}} + \dots + \mathbb{E}_Q[\sum_{s \in \mathbb{T}_t} \frac{\gamma_s}{D_t} X_s | \mathcal{F}_t] 1_{\mathbb{T}_t}$, 이는 $Q$-거의확실하게 $\{D_t > 0\}$ 에서 유효하다.
• $\bar{Q}^1$ 과 $\bar{Q}^2$ 가 $\bar{\mathcal{F}}_t$ 에서 일치하는 것은, $Q^1 = Q^2$ 가 $\mathcal{F}_t \cap \{D^1_t > 0\}$ 에서 일치하고, 모든 $s < t$ 에 대해 $\gamma^1_s = \gamma^2_s$ 가 $Q^1$-거의확실하게 성립할 때이고, 이는 측도 일致성과 성분별 동치성 간의 정밀한 연결을 제공한다.
• $\gamma_\infty > 0$ $Q$-거의확실하게 성립하는 것은 $Q \in \mathcal{M}(P)$ 이고 $\gamma_\infty > 0$ $P$-거의확실하게 $\{M_\infty > 0\}$ 에서 성립하는 것과 동치이며, 이는 비퇴화 종단 측도의 존재 여부를 판단하는 기준을 제공한다.