[논문 리뷰] Risk Aversion and Coherent Risk Measures: a Spectral Representation Theorem

Carlo Acerbi|ArXiv.org|2001. 07. 10.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 11인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 위험 회피 함수 φ(p)를 사용하여 일관된 위험 측도의 스펙트럼 표현 정리를 제시한다. 이는 임의의 일관된 위험 측도가 위험 회피 함수 φ(p)를 사용해 기대 단기 손실의 가중 평균으로 표현될 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 일관된 위험 측도와 허용 가능한 위험 스펙트럼 φ 사이의 일대일 대응을 확립함으로써, 주관적인 위험 회피 성향을 일관된 위험 측도로 매핑하고 실무적 구현을 위한 이산적이고 일致된 추정기법을 제공하는 데 있다.

ABSTRACT

We study a space of coherent risk measures M_phi obtained as certain expansions of coherent elementary basis measures. In this space, the concept of ``Risk Aversion Function'' phi naturally arises as the spectral representation of each risk measure in a space of functions of confidence level probabilities. We give necessary and sufficient conditions on phi for M_phi to be a coherent measure. We find in this way a simple interpretation of the concept of coherence and a way to map any rational investor's subjective risk aversion onto a coherent measure and vice--versa. We also provide for these measures their discrete versions M_phi^N acting on finite sets of N independent realizations of a r.v. which are not only shown to be coherent measures for any fixed N, but also consistent estimators of M_phi for large N. Finally, we find in our results some interesting and not yet fully investigated relationships with certain results known in insurance mathematical literature.

연구 동기 및 목표

• 위험 회피 함수를 기반으로 한 스펙트럼 표현을 통해 일관된 위험 측도를 완전히 특성화하는 것.
• 측도가 일관되도록 하기 위한 위험 회피 함수 φ에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 연속적 형태의 스펙트럼 위험 측도와 일致하는 이산적이고 유한 표본 기반의 버전을 개발하는 것.
• 금융 위험 관리에서의 일관성 개념과 기존의 보험 과학 이론 간의 연결 고리를 제공하는 것.
• 시나리오 기반 위험 관리 시스템에서 일관된 위험 측도를 구현하기 위한 실용적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 위험 수준 p ∈ [0,1]에 대한 적분을 통해 스펙트럼 함수 φ(p)를 사용하여 위험 측도 Mϕ의 공간을 정의한다. 여기서 Mϕ(X) = ∫₀¹ φ(p) F⁻¹_X(p) dp 이다.
• Mϕ가 일관되려면 φ가 음이 아니며 감소하고, 적분 가능해야 하며, 즉 φ ∈ L¹([0,1]) 이고 ∫₀¹ φ(p) dp = 1 이어야 한다는 것을 증명한다.
• N개의 독립적인 시나리오를 사용한 이산 근사 Mϕ^(N)을 도입하며, 여기서 가중치 φi = φ(i/N) / ∑ₖ φ(k/N) 이다. 이는 유한한 N에 대해 일관성을 유지한다.
• 적당한 적분 가능성 조건(유한한 1차 모멘트와 유계인 φ) 하에서 N → ∞ 일 때 Mϕ^(N) 이 거의 확실히 Mϕ로 수렴함을 증명한다.
• 스펙트럼 표현을 활용해 합리적인 투자자의 주관적 위험 회피 성향을 φ(p)를 통해 일관된 위험 측도로 매핑한다.
• empirical process 이론의 결과(예: [11]의 정리 3.1)를 활용하여 이산 추정기의 일致성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 φ(p)에 어떤 조건이 성립해야 스펙트럼 위험 측도 Mϕ가 일관되게 되는가?
• RQ2 모든 일관된 위험 측도가 스펙트럼 함수 φ를 통해 기대 단기 손실의 가중 평균으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 이산적이고 시나리오 기반의 위험 측도 Mϕ^(N)을 어떻게 구성할 수 있으며, 이는 연속적 근사와 일致하고 일관성을 유지하는가?
• RQ4 스펙트럼 위험 측도 프레임워크와 기존 보험 과학 이론 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 합리적인 투자자의 주관적 위험 회피 성향은 φ(p)를 통해 일관된 위험 측도로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 위험 측도 Mϕ는 그 스펙트럼 함수 φ가 [0,1]에서 음이 아니며 감소하고 적분 가능하며, ∫₀¹ φ(p) dp = 1 인 경우에만 일관된다.
• 스펙트럼 표현 Mϕ(X) = ∫₀¹ φ(p) F⁻¹_X(p) dp 는 모든 일관된 위험 측도를 완전히 특성화한다.
• N개의 독립적인 시나리오에 기반한 이산적 위험 측도 Mϕ^(N)는 유한한 N에 대해, 가중치 φi 가 정규화되고 φ가 감소하는 한 일관성을 유지한다.
• 이산 측도 Mϕ^(N)는 Mϕ의 일致한 추정기이며, 조건 E[X⁺] < ∞, E[X⁻] < ∞, sup φ(p) < ∞ 하에서 N → ∞ 일 때 거의 확실히 Mϕ로 수렴한다.
• 이 프레임워크는 어떤 주관적 위험 회피 프로파일이라도 φ(p)를 통해 일관된 위험 측도로 표현할 수 있게 하며, 특정 선택에 대한 내재된 선호도가 없다.
• 스펙트럼 표현과 보험 과학의 결과 간 깊은 연결이 발견되었으며, 특히 참고문헌 [12]의 정리 4와 유사한 기초 원리가 공유됨을 시사한다.