[논문 리뷰] Risk quantification for the thresholding rule for multiple testing using Gaussian scale mixtures

Jean-Bernard Salomond|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 23.

Statistical Methods in Clinical Trials참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 스케일 믹스처 사전분포 하에서 임계값 규칙를 사용한 다중 검정에 대한 渐近적 위험 경계를 수립하며, 이러한 연속적 사전분포가 스파이크-앤프레슬 모형과 유사한 최소최대 최적성을 달성할 수 있음을 보여준다. 또한 사전분포에 대한 약간의 규칙성 조건이 만족될 경우 베이지안 및 빈도주의 위험 모두가 엄격하게 통제됨을 증명하며, 신호가 충분히 클 경우 최소최대 위험이 점점 줄어들어 0에 수렴함을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we study the asymptotic properties of Bayesian multiple testing procedures for a large class of Gaussian scale mixture pri- ors. We study two types of multiple testing risks: a Bayesian risk proposed in Bogdan et al. (2011) where the data are assume to come from a mixture of normal, and a frequentist risk similar to the one proposed by Arias-Castro and Chen (2017). Following the work of van der Pas et al. (2016), we give general conditions on the prior such that both risks can be bounded. For the Bayesian risk, the bound is almost sharp. This result show that under these conditions, the considered class of continuous prior can be competitive with the usual two-group model (e.g. spike and slab priors). We also show that if the non-zeros component of the parameter are large enough, the minimax risk can be made asymptotically null. The separation rates obtained are consistent with the one that could be guessed from the existing literature (see van der Pas et al., 2017b). For both problems, we then give conditions under which an adaptive version of the result can be obtained.

연구 동기 및 목표

• 넓은 범위의 가우시안 스케일 믹스처 사전분포 하에서 다중 검정 절차의 渐近적 행동을 연구하는 것.
• 고차원적 희박한 정규 평균 문제에서 임계값 규칙에 대한 베이지안 및 빈도주의 위험을 정량화하는 것.
• 일그룹 사전분포 기반 임계값 규칙의 위험이 최소최대 위험에 수렴하는 조건을 설정하는 것.
• 진짜 희박성 수준 $p_n$ 를 알지 못하더라도 최적의 위험을 달성할 수 있는 적응형 버전의 결과를 도출하는 것.
• 스파이크-앤프레슬 사전분포와 달리 정확한 0 확률 질량이 없더라도 제안된 방법이 거의 최적의 성능을 달성할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 각 매개변수 $\theta_i$ 가 무작위 분산 $\sigma_i^2$ 를 혼합 분포 $\pi$ 에서 추출한 것으로부터 정규 분포를 갖는 가우시안 스케일 믹스처 사전분포 프레임워크를 사용한다.
• 사후 수축 계수 $\kappa_i = \sigma_i^2 / (1 + \sigma_i^2)$ 를 기반으로 한 임계값 규칙을 적용하며, $\mathbb{E}[\kappa_i | X_i] \geq 1/2$ 이면 $\xi_i = 1$ 으로 설정한다.
• $X_i$ 를 조건으로 하여 $\theta_i$ 와 $\sigma_i^2$ 의 사후 분포를 유도함으로써 수축과 검정 결정을 계산할 수 있도록 한다.
• 거짓 양성 및 거짓 음성의 확률을 통제하기 위해 농도 부등식과 尾尾 경계를 사용한다.
• 두 단계 접근법을 사용한다: 먼저 고정된 $p_n$ 에 대해 위험 경계를 유도하고, 이후 데이터 기반의 $\hat{p}_n$ 을 통해 희박성이 알려지지 않은 경우에 적응한다.
• 큰 신호를 감지할 수 있도록 충분한 꼬리 두께를 가지며 작은 것을 수축시키는 혼합 측도 $\pi$ 에 대한 조건에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우시안 스케일 믹스처 사전분포의 사전분포 $\pi$ 에 대해 어떤 조건이 성립할 경우, 임계값 규칙이 다중 검정에서 최소최대 위험에 도달하는가?
• RQ2 이러한 임계값 규칙의 베이지안 및 빈도주의 위험은 이론적 최소최대 위험과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 진짜 희박성 수준 $p_n$ 의 지식이 없이도 최적의 위험을 달성할 수 있는 적응형 절차를 구성할 수 있는가?
• RQ4 연속적인 일그룹 사전분포(예: 호르쉐이프)는 다중 검정에서 스파이크-앤프레슬 사전분포의 성능을 어느 정도까지 따라할 수 있는가?
• RQ5 이러한 사전분포 하에서 최소최대 위험이 渐近적으로 0이 되는 분리율은 무엇인가?

주요 결과

• 사전분포에 대한 약간의 조건 하에서 임계값 규칙의 베이지안 위험은 경계가 존재하며 거의 정확하여 강력한 이론적 근거를 제공한다.
• 동일한 조건 하에서 빈도주의 위험 역시 경계가 존재하며, 문헌에서 알려진 최소최대 비율과 일치함을 보였다.
• 비제로 신호가 충분히 클 경우 최소최대 위험은 渐近적으로 0이 될 수 있으며, 이는 일관된 탐지 가능성을 시사한다.
• 탐지에 대한 분리율은 문헌에서 알려진 결과들과 일치하며, 예를 들어 van der Pas 등 (2017b) 의 결과와 유사하다.
• 진짜 $p_n$ 의 지식이 없이도 동일한 위험 경계를 달성할 수 있는 적응형 절차를 구성하였으며, 데이터 기반 추정치 $\hat{p}_n$ 을 사용하였다.
• 거짓 양성 및 거짓 음성 비율은 사후 수축의 꼬리 경계를 통해 통제되었으며, $p_n/n$ 과 신호 강도에 명시적인 의존성이 있다.