[논문 리뷰] Robust a posteriori error estimation for stochastic Galerkin formulations of parameter-dependent linear elasticity equations

Arbaz Khan, Alex Bespalov외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 17.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 불확실한 양의 모odulus를 가진 매개변수에 의존하는 선형 탄성 문제에 적용된 스 tochastic Galerkin 혼합 유한요소법(SG-MFEMs)에 대해 강건한 사후 오차 추정 프레임워크를 제시한다. 이 방법은 편율 비율과 메쉬/매개변수 이산화 파라미터에 영향을 받지 않는 신뢰할 수 있고 효율적인 오차 경계를 제공하여, 탄성 한계와 불가약한 한계 모두에서 효과도 지수를 거의 1로 유지하는 적응형 메쉬 개선을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The focus of this work is a posteriori error estimation for stochastic Galerkin approximations of parameter-dependent linear elasticity equations. The starting point is a three-field PDE model in which the Young's modulus is an affine function of a countable set of parameters. We analyse the weak formulation, its stability with respect to a weighted norm and discuss approximation using stochastic Galerkin mixed finite element methods (SG-MFEMs). We introduce a novel a posteriori error estimation scheme and establish upper and lower bounds for the SG-MFEM error. The constants in the bounds are independent of the Poisson ratio as well as the SG-MFEM discretisation parameters. In addition, we discuss proxies for the error reduction associated with certain enrichments of the SG-MFEM spaces and we use these to develop an adaptive algorithm that terminates when the estimated error falls below a user-prescribed tolerance. We prove that both the a posteriori error estimate and the error reduction proxies are reliable and efficient in the incompressible limit case. Numerical results are presented to validate the theory. All experiments were performed using open source (IFISS) software that is available online.

연구 동기 및 목표

• 매개변수에 의존하는 선형 탄성 문제에 대한 스 tochastic Galerkin 혼합 유한요소법에서의 신뢰할 수 있고 효율적인 사후 오차 추정 문제를 해결한다.
• 표준 방법이 잠금 현상으로 인해 실패하기 쉬운 불가약한 한계에서도 강건한 오차 추정 전략을 개발한다.
• 공간 및 매개변수 차원에서의 다양한 개선 전략을 위한 오차 감소 예측치를 제공하여 적응형 메쉬 개선을 가능하게 한다.
• 오차 추정자와 오차 감소 예측치가 모두 신뢰성 있고 효율적이며, 그 상수들이 편율 비율과 이산화 파라미터에 영향을 받지 않도록 보장한다.

제안 방법

• 선형 탄성 문제를 애핀 매개변수를 가진 Young의 모odulus를 포함하는 세 필드 혼합 PDE 시스템으로 수식화한다.
• 안정성 분석을 위해 가중치를 부여한 노름을 도입하고, 스 tochastic Galerkin 이산화에 적합한 약한 수식을 유도한다.
• 공간 및 매개변수 성분에서 잔차 기반 오차 기여도를 바탕으로 한 새로운 사후 오차 추정자를 제안한다.
• 편율 비율과 메쉬/매개변수 파라미터에 영향을 받지 않는 SG-MFEM 오차에 대한 상한 및 하한을 유도한다.
• 새로운 공간 또는 매개변수 자유도를 추가했을 때의 잠재적 오차 감소를 추정하여 적응형 개선을 안내하기 위한 오차 감소 예측치를 구축한다.
• 사용자가 정의한 허용 오차 이하로 추정 오차가 감소할 때까지 정지하는 적응 알고리즘을 구현하며, 오차 추정자와 예측치를 이용해 개선을 안내한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수에 의존하는 재료 특성을 가진 선형 탄성 문제에 대해 스 tochastic Galerkin 혼합 유한요소법에 대해 강건한 사후 오차 추정자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 오차 추정자가 편율 비율이 0.5에 가까워지는 경우를 포함해 탄성 및 불가약한 한계 모두에서 신뢰성과 효율성을 유지하는가?
• RQ3 오차 감소 예측치가 공간 및 매개변수 차원에서의 적응형 개선을 효과적으로 안내할 수 있는가?
• RQ4 적응 알고리즘의 수렴 속도가 편율 비율과 매개변수 계수의 감쇠 속도에 영향을 받지 않는가?
• RQ5 오차 추정자의 효과도 지수가 적응형 메쉬 개선 과정 全 과정에서 거의 1로 유지되는가?

주요 결과

• 제안된 사후 오차 추정자는 편율 비율과 이산화 파라미터에 영향을 받지 않는 상수를 가진 SG-MFEM 오차에 대한 상한 및 하한을 제공한다.
• 모든 적응형 메쉬 개선 단계에서 오차 추정자가 효과도 지수를 거의 1로 유지함으로써 그 신뢰성과 효율성을 확인한다.
• 탄성 경우(ν = 0.4)에서는 공간 오차 기여가 오차 추정의 주요 요소가 되지만, 거의 불가약한 경우(ν = 0.49999)에서는 매개변수 오차 기여가 우세해진다.
• 적응 알고리즘은 총 자유도 수에 대해 O(n⁻¹/²)의 수렴 속도를 달성하며, 이는 편율 비율에 영향을 받지 않는다.
• 느린 감쇠 경우(σ̃ = 2)에서는 거의 불가약한 경우에 더 많은 활성 매개변수가 발생하여 더 높은 매개변수 복잡도를 나타낸다.
• 빠른 감쇠 경우(σ̃ = 4)에서는 동일한 자유도 수에서 더 적은 매개변수가 활성화되며, 이는 매개변수 감쇠 속도가 적응 전략의 효율성에 영향을 준다는 것을 확인한다.