[논문 리뷰] Robust Algorithms for the Secretary Problem

Domagoj Bradač, Anupam Gupta외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 17.

Optimization and Search Problems참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적대적인 '빨간' 요소가 무작위 도착 순서를 훼손하는 고전적 서바이터 문제의 강건한 변종인 비잔티너 서바이터 문제를 소개한다. '초록' 요소들은 여전히 균일하게 무작위로 도착한다. 저자들은 최적의 초록 집합에서 가장 큰 초록 요소의 값을 빼는 기준과 경쟁함으로써 근사 최적의 성능을 달성하는 알고리즘을 제시하여, 단일 항목 및 배낭 설정 모두에서 적대적 외곽치에 대한 강건성을 확보한다.

ABSTRACT

In classical secretary problems, a sequence of $n$ elements arrive in a uniformly random order, and we want to choose a single item, or a set of size $K$. The random order model allows us to escape from the strong lower bounds for the adversarial order setting, and excellent algorithms are known in this setting. However, one worrying aspect of these results is that the algorithms overfit to the model: they are not very robust. Indeed, if a few "outlier" arrivals are adversarially placed in the arrival sequence, the algorithms perform poorly. E.g., Dynkin's popular $1/e$-secretary algorithm fails with even a single adversarial arrival. We investigate a robust version of the secretary problem. In the Byzantine Secretary model, we have two kinds of elements: green (good) and red (rogue). The values of all elements are chosen by the adversary. The green elements arrive at times uniformly randomly drawn from $[0,1]$. The red elements, however, arrive at adversarially chosen times. Naturally, the algorithm does not see these colors: how well can it solve secretary problems? We give algorithms which get value comparable to the value of the optimal green set minus the largest green item. Specifically, we give an algorithm to pick $K$ elements that gets within $(1-\varepsilon)$ factor of the above benchmark, as long as $K \geq \mathrm{poly}(\varepsilon^{-1} \log n)$. We extend this to the knapsack secretary problem, for large knapsack size $K$. For the single-item case, an analogous benchmark is the value of the second-largest green item. For value-maximization, we give a $\mathrm{poly} \log^* n$-competitive algorithm, using a multi-layered bucketing scheme that adaptively refines our estimates of second-max over time. For probability-maximization, we show the existence of a good randomized algorithm, using the minimax principle.

연구 동기 및 목표

• 무작위 순서 모델에서 적대적 교란에 취약한 고전적 서바이터 알고리즘의 취약성을 다루기 위해.
• 일정 비율의 도착이 적대적으로 배치되는(빨간 항목) 상황에서도 효과적으로 작동하는 알고리즘을 설계하기 위해.
• 가장 큰 초록 항목의 값을 빼는 기준을 통해, 순차적 의사결정에서의 회복력과 공정성 반영을 위한 강건한 성능 기준을 설정하기 위해.
• 배낭 서바이터 문제로의 강건성 확장을 위해, 가치 최대화 및 확률 최대화 목표 모두를 다루기 위해.
• 최소 최대 원리와 이산화 기법을 사용하여 경쟁 가능한 알고리즘의 존재를 입증하기 위해.

제안 방법

• 초록(무작위로 도착하는) 요소와 적대적으로 도착하는(빨간) 요소를 가진 비잔티너 서바이터 모델을 제안하며, 두 요소의 값은 적대자가 정한다.
• 알고리즘의 성과를 최적의 초록 집합에서 가장 큰 요소의 값을 뺀 값과 비교하는 성능 기준을 도입함으로써, 외곽치에 대한 강건성을 확보한다.
• 단일 항목 설정에서 두 번째로 큰 초록 값의 추정을 위해 다층 버킷화 기법을 사용하여, poly(log* n)-경쟁성 달성.
• 연속된 시간 간격 [0,1]을 N = n³개의 점으로 이산화하여 가능한 역사 및 알고리즘의 집합을 유한하게 만들고, 바나흐-비엔나의 최소 최대 정리를 적용할 수 있도록 한다.
• 최소 최대 원리를 활용하여, 명시적 구축 없이도 확률 최대화를 위한 좋은 랜덤 알고리즘의 존재를 증명한다.
• 배낭 서바이터 문제로 프레임워크를 확장하여, 큰 배낭 크기 K ≥ poly(ε⁻¹ log n)에 대해 기준에 대해 (1−ε)-근사치를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적대적으로 배치된 도착이 일부 존재하는 상황에서, 무작위 도착 순서 가정이 훼손되더라도 경쟁 가능한 서바이터 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 적대적 외곽치 존재 시 의미 있는 강건한 성능 기준은 무엇이며, 이를 기준으로 근사 최적의 성능를 달성할 수 있는가?
• RQ3 단일 항목 및 배낭 서바이터 문제에서 최적의 초록 집합에서 가장 큰 요소의 값을 뺀 기준에 대해 (1−ε)-근사치를 달성할 수 있는가?
• RQ4 값 최대화를 위한 단일 항목 비잔티너 서바이터 문제에서 poly(log* n)-경쟁성 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 게임 이론적 원리를 사용하여, 확률 최대화를 위한 좋은 랜덤 알고리즘의 존재를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 작은 비율의 빨간 항목이 존재하더라도, 가장 값이 높은 빨간 집합을 선택하거나 단일로 가장 큰 초록 요소를 선택하는 것은 불가능하다고 규명된다.
• 단일 항목 설정에서, 두 번째로 큰 초록 값의 추정을 위해 다층 버킷화 기법을 사용하여, 값 최대화를 위한 poly(log* n)-경쟁성 알고리즘을 개발하였다.
• 큰 K ≥ poly(ε⁻¹ log n)인 배낭 서바이터 문제에서는, 최적의 초록 집합에서 가장 큰 요소의 값을 뺀 기준에 대해 (1−ε)-근사치를 달성한다.
• 최소 최대 원리를 통해, 명시적 구축 없이도 확률 최대화를 위한 좋은 랜덤 알고리즘의 존재가 증명되었다.
• 시간 간격 [0,1]을 n³개의 점으로 이산화하여, 무한한 알고리즘과 입력 공간을 유한한 것으로 줄여, 바나흐-비엔나의 최소 최대 정리를 적용할 수 있도록 하였다.