[논문 리뷰] Robust Arbitrage Conditions for Financial Markets

Derek Singh, Shuzhong Zhang|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 20.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자산 수익률 분포의 분포 불확실성에 대해 워셔스타인 거리(Wasserstein distance)를 불확실성 척도로 사용하여 금융 시장에서의 아웃리어(arbitrage) 분석을 위한 강건한 프레임워크를 제안한다. 약한 및 강한 아웃리어 조건에 대한 이중 형식을 유도하고, 통계적 아웃리어(statistical arbitrage)를 정의하며, 아웃리어가 피할 수 없게 되는 임계 워셔스타인 반경을 계산한다. 계산 결과는 근접한 아웃리어 없는 측도까지의 안정된 최소 거리 약 130.07로 수렴하는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

This paper investigates arbitrage properties of financial markets under distributional uncertainty using Wasserstein distance as the ambiguity measure. The weak and strong forms of the classical arbitrage conditions are considered. A relaxation is introduced for which we coin the term statistical arbitrage. The simpler dual formulations of the robust arbitrage conditions are derived. A number of interesting questions arise in this context. One question is: can we compute a critical Wasserstein radius beyond which an arbitrage opportunity exists? What is the shape of the curve mapping the degree of ambiguity to statistical arbitrage levels? Other questions arise regarding the structure of best (worst) case distributions and optimal portfolios. Towards answering these questions, some theory is developed and computational experiments are conducted for specific problem instances. Finally some open questions and suggestions for future research are discussed.

연구 동기 및 목표

• 금융 시장에서 분포 불확실성 하에서 아웃리어를 탐지하기 위한 강건한 프레임워크를 개발하는 것.
• 전통적인 약한 및 강한 아웃리어 조건의 완화로 정의된 통계적 아웃리어 개념을 체계화하는 것.
• 라그랑주 이중성과 워셔스타인 불확실성 기반으로 강건한 아웃리어 조건의 이중 형식을 도출하는 것.
• 아웃리어가 피할 수 없게 되는 임계 워셔스타인 반경을 계산하고, 최적의 포트폴리오 및 최악의 경우 분포를 식별하는 것.
• 실제 시장 데이터(지수 백업, 페어 트레이딩 포함)에 프레임워크를 적용하고 계산 실험을 통해 검증하는 것.

제안 방법

• 자산 수익률 분포의 분포 불확실성을 측정하기 위해 워셔스타인 거리를 불확실성 척도로 사용한다.
• 파르카스의 보조정리(Farkas' lemma)와 라그랑주 이중성을 적용하여 강건한 아웃리어 조건의 단순화된 이중 형식을 도출한다.
• 통계적 아웃리어를 전통적 아웃리어의 완화로 정의하며, 매개변수 β를 가진 페널티 완화 문제(NSPR)로 정의한다.
• 실제 시장 데이터에서 비선형 프로그래밍(NLP)을 사용하여 가장 가까운 아웃리어 없는(NA) 문제를 풀며, Knitro 솔버를 활용한다.
• 서브기울기 방법을 사용하여 날카운 완화 문제(NSPRT)를 풀어 임계 워셔스타인 반경을 산출한다.
• 이중 문제를 풀어 최악의 경우 및 최선의 경우 분포를 구성하며, 최적의 상태 가격 벡터 q*로부터 지원을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 시장 모델에서 아웃리어 기회가 반드시 존재하게 되는 임계 워셔스타인 반경은 무엇인가?
• RQ2 워셔스타인 불확실성 반경에 따라 통계적 아웃리어 수준은 어떻게 변하는가?
• RQ3 강건한 아웃리어 제약 조건 하에서 최악의 경우 및 최선의 경우 확률 분포의 구조는 어떠한가?
• RQ4 워셔스타인 기반 강건 최적화를 사용하여 분포 불확실성 하에서 최적의 포트폴리오를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 워셔스타인 불확실성 하에서 가장 가까운 아웃리어 없는 측도를 결정하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 2019년 지수 백업 데이터의 임계 워셔스타인 반경은 약 130.07로 수렴하여, 이 이상이면 아웃리어가 피할 수 없음을 시사한다.
• NSPR 문제를 통한 가장 가까운 아웃리어 없는 측도까지의 최소 거리는 β ≥ 64일 때 130.07로 안정화되며, 이는 완화의 수렴을 확인한다.
• 최적의 포트폴리오 가중치는 이중 해로부터 유도되며, 상태 가격 벡터 q*는 오직 두 개의 시나리오(0.229 및 0.668)에서만 비영 확률를 가지며, 이는 핵심 시장 상태에 집중됨을 나타낸다.
• 재구성된 수익 지급 행렬 ˜X*는 원본 데이터와 매우 유사하며 잔차 노름 ∥p − ˜X*q*∥₂ ≈ 4.78×10⁻⁷로, 가장 가까운 NA 근사에서 높은 정확도를 확인한다.
• 최악의 경우 분포는 최소한의 시나리오 집합에서 지원되며, 이는 이중 해와 일치한다. 최적의 포트폴리오는 높은 확률 상태에서 보장된 양의 수익을 얻는 동시에 거의 영비용으로 구현된다.
• 가장 가까운 아웃리어 없는 문제의 NP-난이도가 공식적으로 증명되어 정확한 해를 구하는 데의 계산적 과제를 확인한다.