[논문 리뷰] Robust feedback stabilization of N-level quantum spin systems

Weichao Liang, Nina H. Amini외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 08.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 연속 측정 하에서 N-레벨 양자 스핀 시스템에 대한 강건한 피드백 제어 전략을 제시한다. 진정한 양자 상태와 그 추정치를 기술하는 결합된 스토케스틱 마스터 방정식을 사용하며, 초기 상태의 불확실성과 물리적 파라미터의 부정확성에도 불구하고 측정 연산자의 목표 고유상태로의 지수적 안정성을 보장하는 충분조건를 확립하고, 수량화된 수렴 속도를 갖는 명시적 피드백 법칙을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider N-level quantum angular momentum systems interacting with electromagnetic fields undergoing continuous-time measurements. We suppose unawareness of the initial state and physical parameters, entailing the introduction of an additional state representing the estimated quantum state. The evolution of the quantum state and its estimation is described by a coupled stochastic master equation. Here, we study the asymptotic behavior of such a system in presence of a feedback controller. We provide sufficient conditions on the feedback controller and on the estimated parameters that guarantee exponential stabilization of the coupled stochastic system towards an eigenstate of the measurement operator. Furthermore, we estimate the corresponding rate of convergence. We also provide parametrized feedback laws satisfying such conditions. Our results show the robustness of the feedback stabilization strategy considered in [21] in case of imprecise initialization of the estimated state and with respect to the unknown physical parameters.

연구 동기 및 목표

• 연속 시간 측정 하에서 측정 연산자의 목표 고유상태로 N-레벨 양자 스핀 시스템을 안정화시키는 문제에 대응한다.
• 피드백 제어 설계에서 초기 양자 상태를 알지 못하거나 물리적 파라미터가 알려지지 않은 실험적 결함을 극복한다.
• 양자 필터링 및 제어 루프에서 추정 오차와 파라미터 불일치에 대한 피드백 컨트롤러의 강건성을 확보한다.
• 목표 상태로의 지수적 수렴을 보장하는 명시적 피드백 법칙을 제공한다.
• 이전의 스핀-1/2 시스템 결과를 일반적인 N-레벨 양자 운동량 시스템으로 확장하고 엄밀한 안정성 분석을 수행한다.

제안 방법

• 진정한 양자 상태와 그 추정 상태의 진화를 기술하는 결합된 스토케스틱 마스터 방정식을 사용하여 시스템을 모델링한다.
• 실제 세계의 불확실성을 반영하기 위해 임의의 초기 조건과 추정된 물리적 파라미터를 갖는 추정 상태를 도입한다.
• 측정 과정과 추정된 파라미터에 의존하는 피드백 컨트롤러를 적용한다.
• 스토케스틱 리아푸노프 기법과 지지역정리를 사용하여 결합된 시스템의 국소적 및 전역적 안정성을 분석한다.
• 목표 고유상태로의 지수적 수렴을 보장하기 위해 피드백 법칙과 추정된 파라미터에 대한 충분조건를 유도한다.
• 유도된 안정성 조건를 만족하는 매개변수화된 피드백 법칙(예: 식 (26) 및 (27))을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 상태와 물리적 파라미터가 알려지지 않은 상황에서 연속 측정 하에서 N-레벨 양자 스핀 시스템의 지수적 안정화가 달성될 수 있는가?
• RQ2 피드백 컨트롤러의 성능은 추정 상태와 파라미터의 정확도에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 피드백 법칙과 추정된 파라미터에 대한 어떤 조건이 결합된 시스템의 전역적 지수적 안정성을 보장하는가?
• RQ4 이러한 강건한 제어 전략 하에서 목표 상태로의 수렴 속도를 수량화할 수 있는가?
• RQ5 초기화 및 파라미터 불일치에 대한 강건성 측면에서 제안된 피드백 법칙은 이전 방법과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 피드백 컨트롤러와 추정된 파라미터에 대한 충분조건를 만족할 경우, 측정 연산자 $J_z$의 목표 고유상태 $\boldsymbol{\rho}_{\bar{n}}$로의 결합된 시스템의 지수적 안정성이 달성된다.
• 수렴 속도는 리아푸노프 지수 $\nu_{\text{av}}$를 통해 수량화되며, 실제 및 추정된 측정 효율성 $\eta, \hat{\eta}$와 결합 강도 $M, \hat{M}$에 의존한다. $\bar{n} \in \{0,2\}$일 경우 $\nu_{\text{av}} = -\frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\} + 2\sqrt{\hat{\eta}\hat{M}}\left|\sqrt{\eta M} - \sqrt{\hat{\eta}\hat{M}}\right|$이며, $\bar{n} = 1$일 경우 $\nu_{\text{av}} = -\frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\}$이다.
• 3-레벨 시스템($N=3$, $J=1$)에 대한 수치 시뮬레이션은 이론적 수렴 속도를 확인하며, 검은 선(10개 샘플의 평균)이 반로그 플롯에서 지수적 기준 곡선($\nu_{\text{av}}$를 지수로 사용)과 일치한다.
• 비율 $\nu_{\text{s}} = \nu_{\text{av}} - \frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\}$는 일부 경우에 더 날카운 경계를 제공하며, $\bar{n} = 1$일 경우 $\nu_{\text{av}}$와 일치한다.
• 불일치하는 초기 추정치와 파라미터 값이 존재하더라도 피드백 컨트롤러는 여전히 효과적이며, 초기화 및 파라미터 불확실성에 대한 강건성을 보여준다.
• 매개변수 $\alpha=5$, $\beta=2$를 갖는 식 (26) 및 (27) 형태의 명시적 피드백 법칙은 시뮬레이션을 통해 $\boldsymbol{\rho}_0$ 및 $\boldsymbol{\rho}_1$로의 시스템 안정화를 성공적으로 확인하였다.