[논문 리뷰] Robust Hedging and Martingale Optimal Transport in Continuous Time

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 24.

Stochastic processes and financial applications인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 연속 시간에서 연속 과정으로 모델링된 기초 자산 가격을 가진 경로에 의존하는 유럽형 옵션의 강건한 헤지와 마틴갈레 최적 운반 문제 사이의 이중성을 수립한다. 시간이 점점 더 미세해질수록 최소 초과 헤지 비용에 점차 수렴하는 조각별로 일정한 슈퍼리파이케이션 포트폴리오를 구성함으로써, 주어진 만기 마진 분포를 바탕으로 동적 트레이딩과 정적 바닐라 옵션을 조합한 모델 독립적 헤지 전략을 제공한다.

ABSTRACT

The duality between the robust (or equivalently, model independent) hedging of path dependent European options and a martingale optimal transport problem is proved. The financial market is modeled through a risky asset whose price is only assumed to be a continuous function of time. The hedging problem is to construct a minimal super-hedging portfolio that consists of dynamically trading the underlying risky asset and a static position of vanilla options which can be exercised at the given, fixed maturity. The dual is a Monge-Kantorovich type martingale transport problem of maximizing the expected value of the option over all martingale measures that has the given marginal at maturity. In addition to duality, a family of simple, piecewise constant super-replication portfolios that asymptotically achieve the minimal super-replication cost is constructed.

연구 동기 및 목표

• 경로에 의존하는 유럽형 옵션의 강건한 헤지 문제와 연속 시간에서의 마틴갈레 최적 운반 문제 사이의 이중성을 수립하는 것.
• 시간에 따라 조각별로 일정한 단순한 슈퍼리파이케이션 포트폴리오의 가족을 구성하여, 점차적으로 최소 초과 헤지 비용에 수렴하도록 하는 것.
• 기초 자산에 대한 특정 모델이 없이도 동적 트레이딩과 정적 바닐라 옵션의 포지션을 조합한 모델 독립적 헤지 프레임워크를 제공하는 것.
• 주어진 종료 마진 분포를 가진 마틴갈레 측도 위에서의 몽헤-칸토로비치 형 운반 문제의 해로서 최소 슈퍼리파이케이션 비용을 특성화하는 것.

제안 방법

• 경로에 의존하는 유럽형 옵션을 동적 트레이딩과 정적 바닐라 옵션을 사용하여 초과 헤지하는 포트폴리오의 비용을 최소화하는 방식으로 강건한 헤지 문제를 수식화하는 것.
• 주어진 종료 마진 분포를 가진 모든 마틴갈레 측도 위에서 옵션의 기대 수익을 최대화하는 이중 문제를 도입하는 것.
• 최적 운반 이론을 활용하여 원 문제인 헤지 문제와 이중 운반 문제 사이의 등가성을 확립하는 것.
• 시간 분할이 점점 더 미세해질수록 최소 비용으로 수렴하는 조각별 일정한 슈퍼리파이케이션 전략의 가족을 구성하는 것.
• 기초 자산의 동역학을 연속 시간 마르티니갈레 세미마르팅글로 처리하기 위해 연속 시간 확률적 분석을 적용하는 것.
• 마틴갈레 운반 문제에서 이중 최적화자가 존재함을 바탕으로 이중성 갭이 0임을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 시간에서 강건한 헤지와 마틴갈레 최적 운반 간의 정확한 이중성 관계는 무엇인가?
• RQ2 간단하고 조각별 일정한 슈퍼리파이케이션 전략이 점차적으로 최소 초과 헤지 비용에 수렴할 수 있는가?
• RQ3 최소 초과 헤지 비용은 고정된 종료 마진을 가진 모든 마틴갈레 측도 위에서의 기대 수익의 최대값과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 기초 자산에 대한 특정 모델이 없을 경우 최적의 슈퍼리파이케이션 전략의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 연속 시간 설정에서 헤지와 운반 간의 이중성이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 강건한 헤지 문제와 마틴갈레 최적 운반 문제 사이에 완전한 이중성이 수립되었으며, 이중성 갭이 존재하지 않는다.
• 최소 슈퍼리파이케이션 비용은 주어진 종료 마진 분포를 가진 모든 마틴갈레 측도 위에서의 기대 수익의 상한값으로 특성화된다.
• 시간 분할이 점점 더 미세해질수록 최소 비용으로 수렴하는 조각별 일정한 슈퍼리파이케이션 전략의 가족이 구성된다.
• 이중 문제는 마틴갈레 제약 조건 하에서 옵션 수익을 최대화하는 몽헤-칸토로비치 형 운반 문제로 나타나며, 이를 통해 최적의 수익을 도출할 수 있다.
• 슈퍼리파이케이션 전략의 구성은 명시적이고 계산적으로 다룰 수 있으며, 오직 동적 헤지와 정적 옵션에 의존한다.
• 결과는 최소한의 가정으로도 성립하며, 기초 자산 가격 과정의 연속성만 요구된다.