[논문 리뷰] Robust Kalman Filtering Under Model Uncertainty: the Case of Degenerate Densities

Shenglun Yi, Mattia Zorzi|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 25.

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모델 불확실성 하에서 상태 추정을 위한 강건한 칼만 필터링 프레임워크를 제안하며, 특히 열화된(저질서도) 전이 밀도를 다룹니다. 상대 엔트로피를 통해 정의된 불확실성 집합 위에서 최대화-최소화 게임을 수립함으로써, 수치적 안정성을 유지하면서도 고차원 또는 열화된 설정에서 표준 칼만 필터보다 뛰어난 성능을 보이는 저질서도, 위험 감수성 라이카티 유사 반복을 도출합니다.

ABSTRACT

We consider a robust state space filtering problem in the case that the transition probability density is unknown and possibly degenerate. The resulting robust filter has a Kalman-like structure and solves a minimax game: the nature selects the least favorable model in a prescribed ambiguity set which also contains non-Gaussian probability densities, while the other player designs the optimum filter for the least favorable model. It turns out that the resulting robust filter is characterized by a Riccati-like iteration evolving on the cone of the positive semidefinite matrices. Moreover, we study the convergence of such iteration in the case that the nominal model is with constant parameters on the basis of the contraction analysis in the same spirit of Bougerol. Finally, some numerical examples show that the proposed filter outperforms the standard Kalman filter.

연구 동기 및 목표

• 공분산 행렬이 부정정의가 되는 고차원 또는 열화된 시스템에서 표준 칼만 필터가 실패하는 문제를 해결합니다.
• 전이 밀도가 가능하게 열화된 경우에도 강건한 칼만 필터링을 확장하여 기상 예측 및 해양학 분야에 적용 가능하게 합니다.
• 상대 엔트로피 기반의 불확실성 집합을 통해 모델 불확실성을 고려한 최대화-최소화 필터링 프레임워크를 개발합니다. 이 집합은 비정규분포 및 열화된 밀도를 포함합니다.
• 수축 분석을 활용해 일정한 시스템 파rameter를 가진 경우 필터의 수치적 안정성과 수렴성을 확보합니다.
• 최악의 조건에서의 모델과 강건한 필터 구조를 유도하여 위험 감수성 필터링을 저질서도 설정으로 일반화합니다.

제안 방법

• 강건한 필터링 문제를 최대화-최소화 게임으로 수립합니다: 자연이 불확실성 집합에서 최악의 모델을 선택하고, 필터 설계자는 그 모델에 최적화합니다.
• 불확실성 집합을 명목상의 정규분포 모델을 중심으로 한 쿨백-라이블러 공집합으로 정의하여, 상대 엔트로피 제약 조건을 통해 열화된 밀도를 허용합니다.
• 최악의 모델을 해석적으로 유도하며, 평균과 교차공분산은 유지된 채로 상태 공분산 행렬만 변형됨을 보여줍니다.
• 양의 준정의 행렬의 원뿔 위에서 진화하는 저질서도, 위험 감수성 라이카티 유사 반복을 제안하며, 열화된 상황을 다룰 수 있도록 반복의 구조를 조정합니다.
• 부거롤의 정신에 따라 수축 분석을 사용하여 안정성, 관측 가능성, 그리고 충분히 작은 불확실성 집합 조건 하에서 강건한 필터의 수렴성을 확보합니다.
• 저질서도 구조를 다루기 위해 행렬 분해(예: 특이값 분해)를 적용하여 고차원 시스템에서 필터가 계산적으로 실현 가능하게 유지됩니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 강건한 칼만 필터링을 열화된(저질서도) 전이 밀도를 가진 시스템으로 확장할 수 있을까요?
• RQ2 모델 불확실성과 열화된 밀도가 존재할 경우 최악의 조건에서의 모델은 어떤 구조를 가지나요?
• RQ3 명목상의 모델이 일정한 파rameter를 가지며 불확실성 집합이 작을 경우, 안정성과 수렴성을 유지하는 강건한 필터를 설계할 수 있을까요?
• RQ4 모델 불일치 상황에서 수치적으로 표준 칼만 필터와 비교해 제안된 필터의 추정 정확도는 어떻게 되나요?
• RQ5 어떤 조건이 열화된 경우 강건한 라이카티 반복의 수렴성을 보장합니까?

주요 결과

• 제안된 강건한 필터는 칼만 유사한 구조를 가지며, 전이 밀도가 열화된 경우에도 양의 준정의 행렬의 원뿔 위에서 진화하는 라이카티 유사 반복을 특징으로 합니다.
• 최악의 조건에서의 모델은 상태 공분산 행렬만 변형되며 평균과 교차공분산은 유지됨을 보여주어 강건한 설계를 단순화합니다.
• 안정성, 도달 가능 부분공간의 관측 가능성, 그리고 충분히 작은 불확실성 집합 조건 하에서 강건한 필터의 수렴이 보장됩니다.
• 필터는 수치적으로 안정적이며 고차원 또는 열화된 시스템을 포함한 수치 예제에서 표준 칼만 필터보다 뛰어난 성능을 보입니다.
• 강건한 필터는 저질서도 위험 감수성 라이카티 반복에 해당하며, 이는 문헌에서 새롭게 제안된 것으로 허위 역행과 부분공간 투영을 통해 열화된 상황을 다룹니다.
• 상대 엔트로피 제약 조건은 불확실성 집합이 비정규분포 및 열화된 밀도를 포함하도록 보장하여 실제 문제(예: 기상 예측)에 적용 가능한 프레임워크를 제공합니다.