[논문 리뷰] Robust Optimal Control with Adjustable Uncertainty Sets

Xiaojing Zhang, Maryam Kamgarpour외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 15.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 조정 가능한 불확실성 집합을 갖는 강건 최적 제어를 위한 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 불확실성 집합의 크기와 형태를 결정 변수로 간주함으로써, 볼록 최적화 문제로 재구성함으로써 전력 시스템 및 기타 응용 분야에서 최적의 비축 용량을 효율적으로 계산할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a unified framework for studying constrained robust optimal control problems with adjustable uncertainty sets. In contrast to standard constrained robust optimal control problems with known uncertainty sets, we treat the uncertainty sets in our problems as additional decision variables. In particular, given a finite prediction horizon and a metric for adjusting the uncertainty sets, we address the question of determining the optimal size and shape of the uncertainty sets, while simultaneously ensuring the existence of a control policy that will keep the system within its constraints for all possible disturbance realizations inside the adjusted uncertainty set. Since our problem subsumes the classical constrained robust optimal control design problem, it is computationally intractable in general. We demonstrate that by restricting the families of admissible uncertainty sets and control policies, the problem can be formulated as a tractable convex optimization problem. We show that our framework captures several families of (convex) uncertainty sets of practical interest, and illustrate our approach on a demand response problem of providing control reserves for a power system.

연구 동기 및 목표

• 불확실성 집합이 사전에 고정된 것이 아니라 결정 변수로 취급되는 제약 조건을 갖는 강건 최적 제어 문제를 위한 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 모든 가능한 외란이 포함된 집합 내에서 제약 조건을 만족시키면서 동시에 불확실성 집합의 크기와 형태를 최적화하는 도전 과제를 해결하는 것.
• 기존의 강건 제어 방법을 확장하여 전력 시스템 및 유사한 응용 분야에서 최적의 비축 용량을 효율적으로 계산할 수 있도록 하는 것.
• 일반적인 경우의 비가역성에도 불구하고 특정 구조적 가정 하에 문제를 볼록 재구성함으로써 계산 가능성을 확보하는 것.
• 노름-구, 타원체, 초직사각형, 정점이 사전 정의된 복합 다면체와 같은 실용적인 불확실성 집합 가족에 대한 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 불확실성 집합을 기초 볼록 집합의 애핀 변환으로 모델링하며, 변환 행렬과 이동 벡터로 매개변수화한다.
• 제어 정책은 기초 집합에 대해 애인 형태로 제한하여 인과성과 계산 가능성 확보.
• 콘익 최적화 기법을 사용하여 조정 가능한 불확실성 집합을 갖는 원래의 강건 최적 제어 문제를 볼록 최적화 문제로 재구성한다.
• 변환된 불확실성 집합을 인과적 정책 공간으로 매핑하는 리프팅 연산자를 활용하여 타당성과 최적성을 유지한다.
• 정책 행렬의 블록 상삼각 구조와 기초 집합의 볼록성을 활용하여 다항식 시간 내에 해를 구할 수 있다.
• 유연한 불확실성 집합 설계를 지원하며, 단체를 기초 집합으로 사용함으로써 다각형 집합을 효율적으로 최적화할 수 있고, 정점 수가 고정된 복합 다면체에 대한 최적화도 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강건 최적 제어 문제는 불확실성 집합이 고정되어 있지 않고 시스템 회복력 최적화를 위해 결정 변수가 되도록 재구성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 구조적 가정 하에 조정 가능한 불확실성 집합 문제의 계산 가능성이 유지되는가?
• RQ3 불확실성 집합이 애인 변환에 의해 변형될 경우, 인과성과 제약 조건 만족을 유지할 수 있는 애인 제어 정책은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 타원체, 노름-구, 초직사각형 등 어떤 종류의 볼록 불확실성 집합 가족이 이 프레임워크 내에서 효율적으로 최적화될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 전력 시스템에서 수요 반응과 같은 실세계 문제에 적용될 수 있는가? 이 경우 목표는 운영 제약 조건을 만족시키면서 비축 용량을 최대화하는 것이다.

주요 결과

• 불확실성 집합이 기초 볼록 집합의 애인 변환이고 제어 정책이 기초 변수에 대해 애인 형태일 경우, 조정 가능한 불확실성 집합을 갖는 강건 최적 제어 문제는 계산 가능한 볼록 최적화 문제로 재구성될 수 있다.
• 이 프레임워크는 노름-구, 타원체, 초직사각형, 정점 수가 사전 정의된 복합 다면체와 같은 광범위한 불확실성 집합 가족에 대해 효율적인 최적화를 가능하게 한다.
• 단체를 기초 집합으로 선택함으로써, 이전에 특정 노름에 국한된 연구를 넘어서 다각형 불확실성 집합에 대한 최적화를 효율적으로 지원한다.
• 리프팅 연산자를 통해 변환된 불확실성 집합을 인과적 정책 공간으로 매핑함으로써 인과성과 제약 조건 만족성이 유지된다.
• 원래 문제와 재구성된 볼록 문제 사이의 동치성이 증명되었으며, 한 쪽의 타당해가 다른 쪽으로 동일한 목적 함수 값을 갖는 타당해로 매핑됨을 보여준다.
• 이 방법은 결정 변수의 수에 대해 다항식 시간 내에 스케일링되므로 전력 시스템의 비축 제공과 같은 응용 분야에서 실용적인 구현에 적합하다.