[논문 리뷰] Robust quantum minimum finding with an application to hypothesis selection

Yihui Quek, Clément L. Canonne외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비교기(comparator)가 거리 α 이내의 요소를 구분하지 못하는 노이즈가 있는 상황에서도 여전히 제곱근 속도 향상(quadratic quantum speedup)을 유지하는 강건한 양자 최소값 찾기 알고리즘을 제시한다. 알고리즘은 쿼리 복잡도 Õ(√(N(1+Δ)))를 달성하며, 여기서 Δ는 거리 α 이내에 존재하는 요소의 최대 수이다. 이 알고리즘은 가설 선택에 응용되어 고전적 O(N²) 실행 시간을 하위선형 Õ(√(N(1+Δ)))으로 줄이며, 동일한 표본 복잡도를 유지한다.

ABSTRACT

We consider the problem of finding the minimum element in a list of length $N$ using a noisy comparator. The noise is modelled as follows: given two elements to compare, if the values of the elements differ by at least $α$ by some metric defined on the elements, then the comparison will be made correctly; if the values of the elements are closer than $α$, the outcome of the comparison is not subject to any guarantees. We demonstrate a quantum algorithm for noisy quantum minimum-finding that preserves the quadratic speedup of the noiseless case: our algorithm runs in time $ ilde O(\sqrt{N (1+Δ)})$, where $Δ$ is an upper-bound on the number of elements within the interval $α$, and outputs a good approximation of the true minimum with high probability. Our noisy comparator model is motivated by the problem of hypothesis selection, where given a set of $N$ known candidate probability distributions and samples from an unknown target distribution, one seeks to output some candidate distribution $O(\varepsilon)$-close to the unknown target. Much work on the classical front has been devoted to speeding up the run time of classical hypothesis selection from $O(N^2)$ to $O(N)$, in part by using statistical primitives such as the Scheffé test. Assuming a quantum oracle generalization of the classical data access and applying our noisy quantum minimum-finding algorithm, we take this run time into the sublinear regime. The final expected run time is $ ilde O( \sqrt{N(1+Δ)})$, with the same $O(\log N)$ sample complexity from the unknown distribution as the classical algorithm. We expect robust quantum minimum-finding to be a useful building block for algorithms in situations where the comparator (which may be another quantum or classical algorithm) is resolution-limited or subject to some uncertainty.

연구 동기 및 목표

• 거리 α 이내의 요소를 구분하지 못하는 노이즈 있는 비교기(comparator)에 대해 강건한 양자 최소값 찾기 알고리즘을 개발하는 것.
• 이러한 노이즈가 존재하는 상황에서도 제곱근 속도 향상(Õ(√N))을 유지하는 것.
• 강건한 최소값 찾기 알고리즘을 가설 선택에 적용하여 고전적 O(N²) 실행 시간을 하위선형 Õ(√(N(1+Δ)))로 줄이는 것과 동시에 O(log N) 표본 복잡도를 유지하는 것.
• 분포 학습에서 통계적 원천(예: Scheffé 검정)에서 발생하는 노이즈 있는 비교를 모델링하고 분석하는 것.

제안 방법

• 요소 간 거리가 α를 초과할 경우에만 비교 결과가 정확하고, 그렇지 않으면 결과가 임의일 수 있는 노이즈 있는 비교기 모델을 도입한다.
• Dürr와 Høyer의 양자 최소값 찾기 알고리즘을 수정된 앰플리튜드 강화 프레임워크를 통해 이 노이즈 있는 비교기 모델에서 작동하도록 조정한다.
• 이중 단계 접근법을 사용한다: 첫 번째 단계는 최소값의 좋은 근사치를 찾기 위한 후보 요소에 대한 양자 검색; 두 번째 단계는 임계값 Y_out을 갖는 노이즈 있는 비교기를 사용한 정밀 조정 단계.
• 비교기의 불확실성을 고려한 강건한 양자 앰플리튜드 강화 버전을 사용하여, 노이즈 있는 비교에도 성공 확률이 보장되도록 한다.
• 후보 분포와 알려지지 않은 목표 분포 간 ℓ₁-거리 비교를 노이즈 있는 비교기 모델로 매핑함으로써 가설 선택에 알고리즘을 적용한다.
• Scheffé 검정을 양자 오라클로 사용하여 ℓ₁-거리를 추정하고, 농도 불확실성 및 유니온 바운드를 통해 오차 범위를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비교기가 노이즈가 나와 거리 α 이내의 요소를 구분하지 못하는 상황에서, 양자 최소값 찾기 알고리즘이 여전히 제곱근 속도 향상을 유지할 수 있는가?
• RQ2 이러한 노이즈 있는 비교기 모델 하에서, 양자 최소값 찾기의 최적 쿼리 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 강건한 양자 최소값 찾기 알고리즘을 어떻게 가설 선택에 적용하여 하위선형 실행 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ4 노이즈 내성(Δ를 통해 표현)과 쿼리 복잡도 사이의 상호 교환 관계는 무엇인가?
• RQ5 강건한 양자 최소값 찾기 알고리즘을 사용하여 고전적 O(N²) 복잡도를 갖는 가설 선택의 하위선형 시간 대안을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 강건한 양자 최소값 찾기 알고리즘은 노이즈 있는 비교 상황에서도 여전히 Õ(√(N(1+Δ)))의 쿼리 복잡도를 달성하며, 고전적 방법에 비해 제곱근 속도 향상을 유지한다.
• 거리 α 이내의 요소 수가 Δ 이하로 제한된다는 가정 하에, 알고리즘은 높은 확률로 진짜 최소값의 2-근사값을 출력한다.
• 가설 선택에 적용했을 때, 알고리즘은 고전적 O(N²) 평균 실행 시간을 Õ(√(N(1+Δ)))로 줄이며, 고전적 방법과 동일한 O(log N) 표본 복잡도를 유지한다.
• 최종 출력 가설은 ‖p̂−q‖₁ ≤ 9 minₚ∈ℙ_δ ‖p−q‖₁ + 4√(10 log( binom(N,2)/δ )/k)를 만족하며, 표본 수 k를 늘림으로써 최적에 가까운 수준으로 만들 수 있다.
• 모든 쌍별 비교에 대한 유니온 바운드와 Scheffé 검정 및 강건한 양자 최소값 찾기 서브루틴 각각의 성공 확률 1−δ/2를 조합함으로써, 높은 성공 확률(1−δ)을 유지한다.
• 이 프레임워크는 일반적이며, 실험 심리학이나 스포츠 대회 등 메트로로지 오차, 인간 편향, 통계적 변동성이 존재하는 분야에 적용 가능하다.