[논문 리뷰] Robust (rainbow) subdivisions and simplicial cycles

István Tomon|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 28.

Commutative Algebra and Its Applications인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 그래프 및 초그래프에서 강력한(레인보우) 분할과 단순형 순환의 새로운 극한 경계를 확립한다. 확장자에서 랜덤 정점 샘플링을 활용하여, 밀도가 높은 그래프가 $ n^{1+\beta} $개의 간선을 가질 경우 $ t = n^{\Theta(\beta)} $ 및 $ \ell = \Omega(\frac{1}{\beta}\log\frac{1}{\beta}) $인 $ K_t $의 $ \ell $-분할을 포함함을 증명하며, 이는 적절한 간선 색칠 조건(레인보우 조건) 하에서도 성립한다. 또한 이러한 결과는 삼각형 분할된 실린더와 모비우스 띠를 포함하는 2차원 이상의 단순형 복합체로 확장된다.

ABSTRACT

We present several results in extremal graph and hypergraph theory of topological nature. First, we show that if $α>0$ and $\ell=Ω(\frac{1}α\log\frac{1}α)$ is an odd integer, then every graph $G$ with $n$ vertices and at least $n^{1+α}$ edges contains an $\ell$-subdivision of the complete graph $K_t$, where $t=n^{Θ(α)}$. Also, this remains true if in addition the edges of $G$ are properly colored, and one wants to find a rainbow copy of such a subdivision. In the sparser regime, we show that properly edge colored graphs on $n$ vertices with average degree $(\log n)^{2+o(1)}$ contain rainbow cycles, while average degree $(\log n)^{6+o(1)}$ guarantees rainbow subdivisions of $K_t$ for any fixed $t$, thus improving recent results of Janzer and Jiang et al., respectively. Furthermore, we consider certain topological notions of cycles in pure simplicial complexes (uniform hypergraphs). We show that if $G$ is a $2$-dimensional pure simplicial complex ($3$-graph) with $n$ $1$-dimensional and at least $n^{1+α}$ 2-dimensional faces, then $G$ contains a triangulation of the cylinder and the Möbius strip with $O(\frac{1}α\log\frac{1}α)$ vertices. We present generalizations of this for higher dimensional pure simplicial complexes as well. In order to prove these results, we consider certain (properly edge colored) graphs and hypergraphs $G$ with strong expansion. We argue that if one randomly samples the vertices (and colors) of $G$ with not too small probability, then many pairs of vertices are connected by a short path whose vertices (and colors) are from the sampled set, with high probability.

연구 동기 및 목표

• 그래프가 $ t $가 $ n $에 대해 증가하고 $ \ell $가 크다는 조건에서 $ \ell $-분할된 $ K_t $를 포함하기 위해 필요한 최소 간선 밀도를 결정하는 것.
• 유사한 밀도 조건 하에서 적절한 간선 색칠 조건이 적용된 그래프로의 결과 확장하여, 레인보우 $ \ell $-분할의 존재를 증명하는 것.
• 순수 단순형 복합체 내의 위상적 구조를 조사하여, $ n^{1+\alpha} $개의 2차 면을 가진 복합체가 $ O(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $개의 정점을 가진 실린더 및 모비우스 띠의 삼각분할을 포함함을 보여주는 것.
• 특히 홀수 길이 순환에 대해 초입방체 $ Q_n $에서 순환과 분할의 극한 경계를 향상시키는 것.
• 새로운 샘플링 기반 방법을 통해 기존의 극한 그래프 이론 결과를 위상적 및 레인보우 제약 조건 하에서 통합하고 강화하는 것.

제안 방법

• 강한 확장 성질을 가진 밀도 높은 그래프 및 초그래프를 분석하여, 랜덤 정점 샘플링을 통해 높은 확률로 연결성을 확보한다.
• 비중요하지 않은 확률로 정점과 색을 선택하는 랜덤 샘플링 기법을 적용하여, 샘플된 부분그래프에서 많은 정점 쌍이 짧은 단색 또는 레인보우 경로로 연결되어 있음을 보장한다.
• 의존적 랜덤 선택 방법을 사용하여, 특히 $ t = n^{\Theta(\alpha)} $인 $ \ell $-분할된 $ K_t $를 밀도 높은 그래프에 삽입한다.
• 3-그래프로 표현된 순환에 대해 $ \mathrm{ex}(n,\mathcal{C}) = n^{2+O(\log\ell/\ell)} $와 같은 초그래프 이론의 결과를 활용하여 초입방체 내의 극한 수를 근사한다.
• 로바슈 로컬 레미나 및 세는 방법을 활용하여 $ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $의 개선된 상한을 유도하며, 홀수 $ \ell \geq 7 $에 대해 $ O(n^{2/3+O(\log\ell/\ell)} \cdot 2^n) $임을 보여준다.
• 그래프의 $ r $-그래프를 통한 표현 이론을 활용하여 초그래프에서의 극한 경계를 초입방체로 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ t $가 $ n $의 함수로 증가하고 $ \ell $가 크다는 조건에서, 그래프가 $ \ell $-분할된 $ K_t $를 포함하기 위해 필요한 최소 간선 밀도는 무엇인가?
• RQ2 유사한 밀도 임계값 하에서, 적절한 간선 색칠 조건이 적용된 그래프에서 레인보우 $ \ell $-분할된 $ K_t $를 보장할 수 있는가?
• RQ3 순수 단순형 복합체가 $ n^{1+\alpha} $개의 2차 면을 가질 경우, 적은 수의 정점을 가진 실린더나 모비우스 띠와 같은 삼각분할된 위상 표면을 반드시 포함하는가?
• RQ4 특히 $ \ell \to \infty $일 때, 홀수 $ \ell $에 대해 $ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $의 최선의 상한은 무엇인가?
• RQ5 $ \ell $-분할에 대한 극한 결과에서 $ \epsilon $에 대한 의존성을 제거하거나 크게 개선할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ \alpha > 0 $에 대해, $ \ell = \Omega(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $가 홀수일 경우, $ n $개의 정점을 가진 그래프가 $ n^{1+\alpha} $개 이상의 간선을 가진다면, $ t \geq n^{c_2\alpha} $인 $ K_t $의 $ \ell $-분할을 포함한다. 여기서 $ c_2 > 0 $이다.
• 동일한 결과는 색칠 조건 하에서도 성립한다: 이러한 그래프는 동일한 $ t $를 가지는 레인보우 $ \ell $-분할된 $ K_t $를 포함하며, 색칠 제약 조건 하에서도 강건함을 보여준다.
• 평균 차수 $ (\log n)^{2+o(1)} $인 적절한 간선 색칠 조건이 적용된 그래프는 레인보우 순환을 포함하며, 평균 차수 $ (\log n)^{6+o(1)} $일 경우, 고정된 $ t $에 대해 레인보우 $ \ell $-분할된 $ K_t $를 포함한다.
• 1-차 면이 $ n $개이고 2-차 면이 $ n^{1+\alpha} $개 이상인 2차원 순수 단순형 복합체는 $ O(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $개의 정점을 가진 실린더 및 모비우스 띠의 삼각분할을 포함한다.
• $ \ell \geq 7 $이 홀수일 경우, $ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $의 극한 수는 $ O(n^{2/3+O(\log\ell/\ell)} \cdot 2^n) $로 유계이며, 이는 이전의 경계를 향상시킨다.
• 논문은 열린 문제를 해결한다: $ \mathrm{ex}(n, \text{레인보우 순환}) = O(n(\log n)^2) $이며, 고정된 $ t $에 대해 $ \mathrm{ex}(n, \text{레인보우 } K_t \text{ 분할}) = O(n(\log n)^{2+o(1)}) $이다.