[논문 리뷰] Robust stability and stabilization of uncertain linear positive systems via Integral Linear Constraints: L1- and Linfinity-gains characterization

Corentin Briat|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 16.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 30인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 적분선형제약조건(ILCs)과 선형 공백성 라플라스 함수를 사용하여 불확실한 선형 양성 시스템의 안정성 및 정규화 프레임워크를 제안한다. 선형 공급률을 갖는 소산성 이론을 활용함으로써, 강건 선형계획법을 통해 $L_1$- 및 $L_∞$-이득을 특성화하여, 유한차원 타당성 문제를 위한 핸델만의 정리에 기반한 비보수적인 분석 및 제어기 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Copositive linear Lyapunov functions are used along with dissipativity theory for stability analysis and control of uncertain linear positive systems. Unlike usual results on linear systems, linear supply-rates are employed here for robustness and performance analysis using L1- and Linfinity-gains. Robust stability analysis is performed using Integral Linear Constraints (ILCs) for which several classes of uncertainties are discussed. The approach is then extended to robust stabilization and performance optimization. The obtained results are expressed in terms of robust linear programming problems that are equivalently turned into finite dimensional ones using Handelman's Theorem. Several examples are provided for illustration.

연구 동기 및 목표

• 구조적 불확실성을 갖는 불확실한 선형 양성 시스템에 대한 비보수적인 강건성 분석 방법의 부족을 해결한다.
• 비음수 및 부호가 있는 입력/출력을 갖는 시스템에 적용 가능한 계산 효율적인 $L_1$- 및 $L_\infty$-이득 계산 프레임워크를 개발한다.
• 완전한, 구조적이고 유한한 상태피드백 제어기를 사용하여 성능 제약 조건을 갖는 강건 정규화를 가능하게 한다.
• 핸델만의 정리를 통한 이완을 통해 강건 제어 문제의 유한차원 볼록 공식화를 제공한다.
• 적분선형제약조건(ILCs)을 통해 선형행렬부등식 기반 방법의 적용 범위를 불확실한 양성 시스템으로 확장한다.

제안 방법

• 양성 라플라스 함수 $V(x) = \lambda^T x$ 와 $\lambda \gg 0$ 를 사용하여 안정성 및 성능을 특성화한다.
• 선형 공급률을 갖는 소산성 이론을 적용하여 $L_1$- 및 $L_\infty$-이득을 정의함으로써, 선형계획법을 통한 $L_1$-이득 계산을 가능하게 한다.
• 매개변수 변화가 가능한 불확실성을 고정된 시스템과 불확실성 블록의 상호연결으로 모델링하기 위해 선형분수변환(LFTs)을 사용한다.
• 유리함수 및 다항식 의존성과 같은 다양한 불확실성 유형을 통합하기 위해 적분선형제약조건(ILCs)을 도입한다.
• 무한차원 강건성 조건을 유한차원 선형계획법으로 이완하기 위해 핸델만의 정리를 적용한다.
• $L_1$- 및 $L_\infty$-이득 간의 이중성 원리를 활용: 시스템의 $L_\infty$-이득은 그 전치행렬의 $L_1$-이득과 동일하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 양성 시스템의 $L_1$- 및 $L_\infty$-이득은 선형계획법을 통해 효율적이고 정확하게 계산될 수 있는가?
• RQ2 유리함수 또는 다항식 매개변수 의존성을 갖는 불확실한 양성 시스템에 대한 강건 안정성은 어떻게 분석할 수 있는가?
• RQ3 이차 라플라스 함수에 의존하지 않고도 성능 제약 조건을 갖는 강건 정규화를 볼록 최적화 문제로 공식화할 수 있는가?
• RQ4 고정된 정적이득 행렬을 갖는 시스템에 대해 제안된 ILC 기반 프레임워크가 비보수적인 결과를 얼마나 잘 도출하는가?
• RQ5 이완 기법에서 더 높은 차수의 다항식 스케일링을 사용하면 $L_1$-이득 추정의 보수성 감소에 기여하는가?

주요 결과

• 선형 양성 시스템의 $L_1$-이득은 선형계획법을 통해 정확하게 계산되며, 복잡도는 시스템 크기와 선형적으로 증가한다.
• $L_\infty$-이득은 시스템의 전치행렬의 $L_1$-이득과 동일하므로, 동일한 프레임워크를 통해 효율적으로 계산 가능하다.
• 매개변수에 의존하는 행렬을 갖는 예제에서 정확한 $L_1$-이득은 92.8358이며, 정확한 $L_\infty$-이득은 82.0249이다. 후자는 2차 다항식 스케일링을 사용해 정확하게 추정되었다.
• 2차 다항식 스케일링을 사용하면 $L_1$-이득 추정의 보수성이 감소하여, 한 예제에서 1차 다항식 스케일링의 94.167에서 2차 다항식 스케일링의 82.025로 정확도가 향상되었다.
• 제안된 방법은 고정된 정적이득 행렬을 갖는 선형시간불변(LTI) 양성 불확실성에 대해 비보수적인 결과를 도출한다.
• 성능 제약 조건을 갖는 강건 정규화는 핸델만의 정리를 통한 유한차원 이완을 통해 강건 선형계획법 문제로 공식화되었으며, 이를 해결할 수 있다.