[논문 리뷰] Robust utility maximization problem in model with jumps and unbounded claim

Monique Jeanblanc, Anis Matoussi외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 점프와 유한하지 않은 청구를 고려한 모델 불확실성 하에서 강건한 유틸리티 최적화를 연구하며, 점프를 포함한 이차-지수형 역행 확률적 미분방정식(이하 BSDE)을 통해 가치 과정을 기술한다. 동적 최대원리가 도입되어 최적의 소비-투자 전략과 악성 모델을 정의하는 전진-역행 확률적 시스템을 통해 이전 결과들을 점프-드리프트 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

We study a problem of utility maximization under model uncertainty with information including jumps. We prove first that the value process of the robust stochastic control problem is described by the solution of a quadratic-exponential backward stochastic differential equation with jumps. Then, we establish a dynamic maximum principle for the optimal control of the maximization problem. The characterization of the optimal model and the optimal control (consumption-investment) is given via a forward-backward system which generalizes the result of Duffie and Skiadas (1994) and El Karoui, Peng and Quenez (2001) in the case of maximization of recursive utilities including model with jumps.

연구 동기 및 목표

• 진정한 확률 측도가 알려져 있지 않고 측도의 집합으로 표현되는 모델 불확실성 하에서 유틸리티 최적화 문제를 다루는 것.
• 금융 시장에서 흔한 점프와 유한하지 않은 청구를 포함한 모델로 기존의 강건한 확률적 제어 결과를 확장하는 것.
• 점프 동역학을 포함하는 비마르코프, 동적 설정에서 최적의 소비-투자 전략과 악성 모델 간의 상호작용을 기술하는 것.
• Duffie-Skiadas 및 El Karoui 등이 제안한 순환 유틸리티 프레임워크를 모델 불확실성과 점프를 포함하도록 일반화하는 것.
• 확률적 분석과 BSDE 기법을 활용하여 최적 제어 문제에 대한 동적 최대원리를 수립하는 것.

제안 방법

• 상대 엔트로피로 페널라이제이션된 측도 집합 위에서의 최소-최대 제어 문제로 강건한 유틸리티 최적화 문제를 수식화한다.
• 모델 불확실성과 확률적 동역학 간의 상호작용을 반영하기 위해 점프를 포함한 이차-지수형 BSDE의 해로서 가치 과정을 도출한다.
• Anderson, Hansen, Sargent의 영감을 얻어 상대 엔트로피를 사용하여 모델 모호성을 정량화하는 페널라이제이션 방법을 적용한다.
• 필요 조건을 도출하기 위해 변분 접근법과 Gâteaux 미분을 활용한다.
• 약한 수렴과 Banach-Mazur 보조정리를 사용하여 BSDE 프레임워크 내에서 변형의 강한 수렴하는 부분수열을 추출한다.
• 최적 제어와 악성 측도를 전진-역행 확률적 시스템을 통해 기술하는 동적 최대원리를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델 불확실성 하에서 점프와 유한하지 않은 청구가 존재할 경우 강건한 유틸리티 최적화는 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 모호한 동역학을 포함한 점프-드리프트 모델에서 가치 함수의 동적 특성은 무엇인가?
• RQ3 비마르코프, 점프 확장 설정에서 최적의 소비-투자 전략은 악성 모델과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 이차-지수형 BSDE에 점프를 포함한 동적 최대원리는 강건 제어 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ5 상대 엔트로피 페널라이제이션은 전진-역행 확률적 시스템 내에서 최적의 모델과 제어를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 강건한 확률적 제어 문제의 가치 과정은 점프를 포함한 이차-지수형 역행 확률적 미분방정식의 해로 특성화된다.
• 최적 제어와 악성 모델 간의 관계를 기술하는 전진-역행 확률적 시스템을 통해 동적 최대원리가 수립된다.
• 최적의 모델과 제어가 Duffie-Skiadas 및 El Karoui 등이 제시한 결과를 점프-드리프트 모델로 일반화하는 방정정식 시스템을 만족함이 입증된다.
• 약한 수렴과 Banach-Mazur 기법을 사용하여 변형된 해의 수렴성을 엄밀히 증명함으로써, 변분적 의미에서 도함수의 존재를 보장한다.
• 가장 악성 측도 하에서 변형 동역학이 마틴게일 조건을 만족함을 보여주는 가치 과정의 도함수에 대한 한계 BSDE가 유도된다.
• 최적의 제어는 악성 확률 측도 하에서 소비의 한계 유틸리티와 기말 자산가치를 포함하는 조건부 기대값으로 표현된다.