[논문 리뷰] Roe C*-algebra for groupoids and generalized Lichnerowicz Vanishing theorem for foliated manifolds

Xiang Tang, Rufus Willett외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비유한 단위 공간을 갖는 리 군oids에 대해 코arse 구조와 하르 체계를 지닌 일반화된 Roe C*-대수를 도입하여, 개방된 폴로노미화된 다양체 위의 종방향 타원형 연산자에 대한 해석적 인덱스 이론을 가능하게 한다. Connes의 탄성 군oids와 군oids 미분연산자 계산법을 사용하여, 코arse 해석적 인덱스 사상과 일반화된 Lichnerowicz 소멸 정리를 증명한다: 폴로노미화된 다각형에서 종방향 디랙 연산자가 일관되게 양의 스칼라 곡률을 갖는다면, 그 해석적 인덱스는 Roe C*-대수의 K-이론에서 0이 된다.

ABSTRACT

We introduce the concept of Roe C*-algebra for a locally compact groupoid whose unit space is in general not compact, and that is equipped with an appropriate coarse structure and Haar system. Using Connes' tangent groupoid method, we introduce an analytic index for an elliptic differential operator on a Lie groupoid equipped with additional metric structure, which takes values in the K-theory of the Roe C*-algebra. We apply our theory to derive a Lichnerowicz type vanishing result for foliations on open manifolds.

연구 동기 및 목표

• 비유한 단위 공간을 갖는 종방향 타원형 연산자에 대한 인덱스 이론을 개방된 폴로노미화된 다각형으로 확장한다.
• 비유한 단위 공간을 갖는 리 군oids에 대해 코arse 구조와 하르 체계를 갖춘 Roe C*-대수를 정의하여, 축소된 군oids C*-대수와 고전적 Roe 대수를 모두 일반화한다.
• 탄성 군oids와 미분연산자 계산법을 사용하여, 기호 대수의 K-이론에서 Roe C*-대수의 K-이론으로 향하는 코arse 해석적 인덱스 사상을 구성한다.
• 종방향 디랙 연산자의 해석적 인덱스가 양의 스칼라 곡률 조건을 만족할 경우 K-이론에서 소멸하는 Lichnerowicz 유형의 결과를 확립한다.

제안 방법

• 리 군oids $ \mathsf{G} $의 비유한 단위 공간에 대해 코arse 구조 $ \mathcal{E} $를 리 알베오이드 $ A $ 위의 유클리드 구조에서 유도된 것으로 사용하여, Roe C*-대수 $ C^*_{\text{\mathcal{E}}}(\mathsf{G}) $를 도입한다.
• Connes의 탄성 군oids 구성법을 사용하여 군oids C*-대수의 코arse 판본을 정의하고, 해석적 인덱스 사상 $ \operatorname{Ind}_a: K_\bullet(C_e(A^*)) \to K_\bullet(C^*_{\mathcal{E}}(\mathsf{G})) $를 이끌어낸다.
• 기호 $ (V_1, V_2, \sigma) $를 $ K_0(C_e(A^*)) $ 내의 매끄러운 기호로 정의하며, $ \sigma $의 도함수들이 유계이고 무한대에서의 가역성을 확보한다.
• 일차 매개변수 $ \lambda \in [0,1] $를 갖는 군oids 미분연산자 $ \{Q^\lambda(\sigma)\}_{\lambda \in [0,1]} $를 구성하고, 탄성 군oids Roe C*-대수 위의 멀티플라이어 $ Q(\sigma) $를 정의한다.
• 평가 사상 $ \lambda = 0 $에서 K-이론 클래스 $ [Q(\sigma)] $가 기호 클래스 $ [V_1, V_2, \sigma] $로 보존됨을 증명하여, 인덱스 사상의 일관성을 확립한다.
• 스핀 구조와 일관되게 양의 스칼라 곡률을 갖는 폴로노미화된 다각형 위의 종방향 디랙 연산자에 이 те올을 적용하여, 그 해석적 인덱스가 0임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유한 단위 공간과 코arse 구조를 갖는 리 군oids에 대해 Roe C*-대수를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 탄성 군oids와 미분연산자 계산법을 사용하여 개방된 폴로노미화된 다각형 위의 종방향 타원형 연산자에 대해 코arse 해석적 인덱스 사상을 정의할 수 있는가?
• RQ3 종방향 디랙 연산자의 해석적 인덱스가 Roe C*-대수의 K-이론에서 언제 0이 되는가?
• RQ4 균일하게 유계진 곡률 도함수와 양의 임의의 반경 조건을 갖는 유한성 가정이 인덱스 이론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 탄성 군oids는 고전적 Roe 대수와 축소된 군oids C*-대수 설정을 일반화하는 코arse 인덱스 사상의 구성에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Roe C*-대수 $ C^*_{\mathcal{E}}(\mathsf{G}) $ 는 단위 공간의 컴팩트성 여부에 따라 축소된 군oids C*-대수 $ C^*_r(\mathsf{G}) $ 와 고전적 Roe 대수 $ C^*(M) $ 를 모두 일반화한다.
• 코arse 해석적 인덱스 사상 $ \operatorname{Ind}_a $ 는 잘 정의되어 있으며, $ \lambda = 0 $ 에서의 평가 사상 하에서 기호 클래스와 호환됨을 제4.8정리에서 보였다.
• 짝수 차원 리 알베오이드에 스핀 구조와 리만 메트릭이 존재하고, 가정 4.3을 만족할 경우, 디랙 연산자 기호 $ (\mathcal{S}^+, \mathcal{S}^-, \sigma(\not{D}_+)) $ 는 $ K_0(C_e(A^*)) $ 내의 매끄러운 기호를 정의한다.
• 리만 메트릭이 일관되게 양의 스칼라 곡률 $ k \geq \epsilon > 0 $ 을 갖는다면, 종방향 디랙 연산자의 해석적 인덱스는 0이 된다: $ \operatorname{Ind}_a(\sigma(\widehat{\not{D}}_+)) = 0 $ 과 $ \operatorname{Ind}_a(\sigma(\widetilde{\not{D}}_+)) = 0 $ 이다.
• 동일한 양의 스칼라 곡률 및 유한성 가정 하에서, 정규 벡터장의 덮개 공간 $ \widehat{M} $ 과 메트릭 공간 $ \widetilde{M} $ 에서도 이 소멸 결과가 성립한다.
• 커버링 레미마(레미마 6.1)를 증명하여, 곡률과 임의의 반경의 유계 조건을 갖는 완전한 리만 다각형은 고정된 반경의 공들의 균일하게 국소 유한한 커버를 가지며, 겹침이 제어됨을 보였다.