[논문 리뷰] Rogers functions and fluctuation theory

Mateusz Kwaśnicki|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 06.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 오른쪽 반평면에서 정칙 함수이며 f(ξ)/ξ의 실부가 비음성인 함수인 로저스 함수를 도입하고, 그들의 위너–호프 인수분해를 수립한다. 거의 균형 잡힌 로저스 함수에 대해 f(ξ)+τ의 위너–호프 인수분해가 ξ와 τ 양변에서 완전 베르누이 함수임을 증명하며, 명시적인 적분 표현을 통해 완전 단조 감소하는 점프를 갖는 레비 과정의 최대값 및 최소값 기능에 대한 반명시적 라플라스 변환을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Extending earlier work by Rogers, Wiener-Hopf factorisation is studied for a class of functions closely related to Nevanlinna-Pick functions and complete Bernstein functions. The name 'Rogers functions' is proposed for this class. Under mild additional condition, for a Rogers function f, the Wiener--Hopf factors of f(z)+q, as well as their ratios, are proved to be complete Bernstein functions in both z and q. This result has a natural interpretation in fluctuation theory of Lévy processes: for a Lévy process X_t with completely monotone jumps, under mild additional condition, the Laplace exponents kappa(q;z), kappa*(q;z) of ladder processes are complete Bernstein functions of both z and q. Integral representation for these Wiener--Hopf factors is studied, and a semi-explicit expression for the space-only Laplace transform of the supremum and the infimum of X_t follows.

연구 동기 및 목표

• 새로운 함수의 클래스인 로저스 함수를 정의하고 연구함으로써 네바린나–피크 함수 및 완전 베르누이 함수를 일반화함.
• 약한 조건 하에서 로저스 함수에 대한 새로운 위너–호프 인수분해 이론을 수립함.
• 이론을 레비 과정의 변동 이론에 적용함으로써, 특히 완전 단조 감소하는 점프 밀도를 갖는 과정에 적용함.
• 위너–호프 인수분해 및 공간 전용 라플라스 변환의 적분 표현을 유도함.
• 계단 과정의 라플라스 지수 함수가 공간 및 시간 매개변수 양쪽에서 완전 베르누이 함수임을 보임.

제안 방법

• 로저스 함수를 C_+에서 정칙 함수 f로 정의하며, 오른쪽 반평면의 모든 ξ에 대해 Re(f(ξ)/ξ) ≥ 0임을 만족함.
• 로저스 함수와 함수 -f(-iξ)/ξ가 네바린나–피크 함수임과의 동치성을 수립함.
• 위너–호프 인수분해 프레임워크를 활용하여 f(ξ)+τ를 ξ와 τ에 대한 정칙 함수의 곱으로 분해함.
• 거의 균형 잡힌 조건 하에서, 위너–호프 인수분해 및 그 비율이 양변에서 완전 베르누이 함수임을 증명함.
• 정칙 확장의 경계값을 통해 최대값 및 최소값 기능의 라플라스 변환에 대한 적분 표현을 도출함.
• 푸리에 급수 및 복소해석 기법을 사용하여 최대값 기능의 밀도 라플라스 변환에 대한 명시적 표현을 계산함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f가 로저스 함수일 때, f(ξ)+τ에 대한 위너–호프 인수분해의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 위너–호프 인수분해 및 그 비율이 ξ와 τ 양변에서 완전 베르누이 함수가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 공간 전용 라플라스 변환으로서 레비 과정의 최대값 및 최소값을 로저스 함수의 형태로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 로저스 함수와 완전 단조 감소하는 점프 밀도를 갖는 레비 과정 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 계단 과정의 라플라스 지수 함수가 공간 및 시간 매개변수 양쪽에서 완전 베르누이 함수임을 어떻게 보일 수 있는가?

주요 결과

• 거의 균형 잡힌 로저스 함수 f에 대해, 위너–호프 인수분해 κ↑(τ;ξ) 및 κ↓(τ;ξ)는 ξ와 τ 양변에서 완전 베르누이 함수이다.
• 비율 κ↑(τ₁;ξ)/κ↑(τ₂;ξ), κ↓(τ₁;ξ)/κ↓(τ₂;ξ), κ↑(τ;ξ₁)/κ↑(τ;ξ₂), κ↓(τ;ξ₁)/κ↓(τ;ξ₂)는 각각 ξ와 τ에서 완전 베르누이 함수이다.
• 정칙 확장의 경계값을 통해 최대값 기능의 공간 전용 라플라스 변환에 대한 명시적 반명시적 표현을 도출함.
• 특성 지수 f(ξ) = ξ^α, α ∈ (0,2)인 안정적인 경우, 최대값 밀도의 라플라스 변환은 sin(απϱ)u^α / (1 + 2u^α cos(απϱ) + u^{2α})를 포함하는 적분과 로그 보정 항으로 주어진다.
• 곱 |f↑(−ir e^{iθ}) f↓(ru)|의 로그는 f(re^{iθ})의 매개변수 및 크기와 관련된 실수 적분으로 표현되며, α와 ϱ에 의존하는 보정 항이 포함된다.
• 최종적으로 최대값 밀도의 라플라스 변환은 v와 u에 대한 이중 적분으로 주어지며, 유리 및 로그 항을 포함하며, r > 0 및 x > 0에 대해 유효하다.