[논문 리뷰] Rogozin's convolution inequality for locally compact groups

Mokshay Madiman, James Melbourne외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 01.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 38인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 군으로 로고진의 컨볼루션 부등식을 일반화하며, $\mathbb{R}^d$ 상의 확률 밀도 함수의 컨볼루션의 본질적 최대값에 대해 날카로운 상한을 확립한다. 극값 측도 이론과 기하 부등식—특히 볼의 절삭 경계를 일반화한 새로운 결과—를 사용하여 $\infty$-Rényi 엔트로피 파wr 부등식과 제품 측도의 사영에 대한 경계를 통합하고 날카럽게 다듬으며, 차원과 사영 기하학에 따라 변하는 명시적 상수를 제공한다.

ABSTRACT

General extensions of an inequality due to Rogozin, concerning the essential supremum of a convolution of probability density functions on the real line, are obtained. While a weak version of the inequality is proved in the very general context of Polish $σ$-compact groups, particular attention is paid to the group \(\mathbb{R}^d\), where the result can combined with rearrangement inequalities for certain linear images for a strong generalization. As a consequence, we obtain a unification and sharpening of both the \(\infty\)-Renyi entropy power inequality for sums of independent random vectors, due to Bobkov and Chistyakov, and the bounds on marginals of projections of product measures due to Rudelson and Vershynin (matching and extending the sharp improvement of Livshyts, Paouris and Pivovarov). The proof is elementary and relies on a characterization of extreme points of a class of probability measures in the general setting of Polish measure spaces, as well as the development of a generalization of Ball's cube slicing bounds for products of \(d\)-dimensional Euclidean balls (where the "co-dimension 1" case had been recently settled by Brzezinski).

연구 동기 및 목표

• 로고진의 고전적 컨볼루션 부등식을 원래 $\mathbb{R}$ 상의 밀도 함수에 대해 정의된 바를, 특히 국소적으로 컴act한 군을 포함한 더 넓은 프리즈-시그마-콤팩트 군의 맥락으로 확장한다.
• 독립된 $\mathbb{R}^d$-값을 가진 랜덤 벡터의 컨볼루션의 본질적 최대값에 대해 날카로운 상한을 구한다. 이는 개별 밀도 함수의 $L^\infty$ 노름에 따라 표현된다.
• 정보이론과 볼록 기하학에서 두 주요 결과를 통합하고 개선한다: $\infty$-Rényi 엔트로피 파워 부등식 (보브코프-치스티야코프)과 제품 측도의 사영에 대한 경계 (루돌소프-버시니, 리브시츠-파우리스-피보바로프에 의해 확장됨).
• 프리즈 측도 공간에서 극값 측도와 기하 부등식을 사용하는 일반적 프레임워크를 제공하며, 특히 $d$-차원 유클리드 볼의 곱에 대한 볼의 절삭 경계의 새로운 일반화를 포함한다.
• 차원에 따라 변하는 명시적 상수를 도출하며, 이는 최적의 것으로서 $d=1$ 및 $d\to\infty$의 극한 경우에 알려진 날카로운 경계와 일치한다.

제안 방법

• 프리즈 측도 공간 내 확률 측도의 일정한 클래스의 극점들을 특성화하며, 약한-* 위상과 라돈-니코다임 미분을 사용하여 $M(\mu)$를 밀도의 $L^\infty$ 노름과 연결한다.
• 유클리드 공간 내 선형 영상의 최대값에 대한 일반화된 재배열 부등식을 적용하여 컨볼루션의 본질적 최대값을 입력 밀도 함수의 $L^\infty$ 노름과 연결한다.
• 최적의 상수를 가진 브라스앰프-라이브 유형의 부등식을 사용하여, 선형 사영에 대한 독립된 랜덤 벡터의 컨볼루션의 $L^\infty$ 노름을 제한한다.
• 본질적 최대값에 대해 두 가지 경쟁적 상한을 도출한다: 하나는 $d$-차원 유클리드 볼의 부피에 기반하고, 다른 하나는 사영 행렬의 핵에 대한 이중 기하적 추론에 기반한다.
• 두 상한을 최소-최대 구성으로 조합하여, 정리 1.1에서의 날카로운 상수 $c(d,k)$를 도출한다. 이 상수는 $d$, $k$, $n$에 따라 달라진다.
• 주요 부등식을 레니 엔트로피와 엔트로피 파워의 관점에서 재해석하며, 독립된 랜덤 벡터의 사영에 대한 $\infty$-Rényi 엔트로피 파워의 하한으로 결과를 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립된 $\mathbb{R}^d$ 상의 확률 밀도 함수의 컨볼루션의 본질적 최대값에 대한 날카로운 상한은 무엇인가? 이는 개별 밀도 함수의 $L^\infty$ 노름에 따라 주어진다.
• RQ2 로고진의 부등식은 어떻게 $\mathbb{R}$ 에서 임의의 국소적으로 컴act한 군으로 일반화될 수 있으며, 최소한의 위상적 및 측도 이론적 가정은 무엇인가?
• RQ3 독립된 랜덤 벡터의 합에 대한 $\infty$-Rényi 엔트로피 파워 부등식은 어떻게 날카롭게 다듬고, 제품 측도의 사영에 대한 경계와 통합될 수 있는가?
• RQ4 독립된 $d$-차원 랜덤 벡터의 사영에 대한 일반화된 로고진 부등식의 최적 상수는 무엇이며, 이는 $d$, $k$, $n$에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 기하 부등식—특히 볼의 절삭 경계의 일반화—는 대칭 볼록체에 대한 컨볼루션 부등식의 날카로운 상수 유도에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 날카로운 부등식을 확립한다: 독립된 $\mathbb{R}^d$-값을 가진 랜덤 벡터 $X_i$와 $k$-차원 부분공간으로의 사영 $P$에 대해 $M(P\otimes I_d(X)) \leq c(d,k) \prod_{i=1}^n M^{\gamma_i}(X_i)$ 이며, 여기서 $\sum \gamma_i = k$ 이고 $c(d,k)$ 는 명시적으로 주어진다.
• 상수 $c(d,k)$ 는 두 항의 최소값으로 주어지며, 하나는 $d$-차원 볼의 부피와 감마 함수를 포함하고, 다른 하나는 비율 $n/(n-k)$ 를 포함한다. $n-k$ 가 클수록 후자가 지배한다.
• 일반적으로 $d=1$ 일 때, 상수는 $\min\{2^{k/2}, (n/(n-k))^{(n-k)/2}\}$ 로 줄어들며, 이는 $\infty$-Rényi 엔트로피 파워 부등식에서 알려진 날카로운 경계와 일치한다.
• 정보이론적 표현에서, 부등식은 $N_\infty(P^{(d)}(X)) \geq \max\left(\left(\frac{m}{n}\right)^{m/k}, \frac{\Gamma^{2/d}(1+d/2)}{1+d/2}\right) \prod_{i=1}^n N_\infty^{t_i}(X_i)$ 를 유도한다. 여기서 $m = \dim(\ker P)$ 이며, 이는 차원에 독립적인 항과 $d$-에 의존하는 항 사이의 이원성(dichotomy)을 보여준다.
• 상수 $\frac{\Gamma^{2/d}(1+d/2)}{1+d/2}$ 는 $d \to \infty$ 일 때 $1/e$ 로 수렴하며, 보브코프와 치스티야코프의 부등식에서 날카로운 상수를 복원한다.
• 정수값을 가진 랜덤 변수에 대한 확장도 제공된다: $M(X_i) \leq 1/k$ 를 만족하는 정수값을 가진 랜덤 변수에 대해 $n>2$ 일 때 $M(X_1+\cdots+X_n) < \sqrt{6/(\pi(k^2-1)n)}$ 이다. 이는 매튼너와 루스의 결과를 일반화한다.