[논문 리뷰] Rolling Manifolds: Intrinsic Formulation and Controllability

Yacine Chitour, Petri Kokkonen|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 12.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 32인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 리만 기하학적 연결장과 제어 이론을 사용하여 스핀이 없는(No-Spinning, NS) 및 미끄럼이 없는(Rolling, R) 굴림 다각체의 내재 기하학적 기술을 제공한다. 굴림(R)이 완전히 제어 가능할 조건은, 곡률이 0인 경우에만 (M,g)의 호로노미 군이 SO(n)일 때 성립하며, 비영인 곡률의 경우 제어 가능성의 특성을 기술하기 위해 새로운 '굴림 곡률 텐서'와 '굴림 접속'을 도입한다. 또한 3차원에서의 비제어 가능성은 와핑 곱과 접촉 구조를 통해 분류된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider two cases of rolling of one smooth connected complete Riemannian manifold $(M,g)$ onto another one $(\hM,\hg)$ of equal dimension $n\geq 2$. The rolling problem $(NS)$ corresponds to the situation where there is no relative spin (or twist) of one manifold with respect to the other one. As for the rolling problem $(R)$, there is no relative spin and also no relative slip. Since the manifolds are not assumed to be embedded into an Euclidean space, we provide an intrinsic description of the two constraints "without spinning" and "without slipping" in terms of the Levi-Civita connections $ abla^{g}$ and $ abla^{\hg}$. For that purpose, we recast the two rolling problems within the framework of geometric control and associate to each of them a distribution and a control system. We then investigate the relationships between the two control systems and we address for both of them the issue of complete controllability. For the rolling $(NS)$, the reachable set (from any point) can be described exactly in terms of the holonomy groups of $(M,g)$ and $(\hM,\hg)$ respectively, and thus we achieve a complete understanding of the controllability properties of the corresponding control system. As for the rolling $(R)$, the problem turns out to be more delicate. We first provide basic global properties for the reachable set and investigate the associated Lie bracket structure. In particular, we point out the role played by a curvature tensor defined on the state space, that we call the \emph{rolling curvature}. In the case where one of the manifolds is a space form (let say $(\hM,\hg)$), we show that it is enough to roll along loops of $(M,g)$ and the resulting orbits carry a structure of principal bundle which preserves the rolling $(R)$ distribution. In the zero curvature case, we deduce that the rolling $(R)$ is completely controllable if and only if the holonomy group of $(M,g)$ is equal to SO(n). In the nonzero curvature case, we prove that the structure group of the principal bundle can be realized as the holonomy group of a connection on $TM\oplus \R$, that we call the rolling connection. We also show, in the case of positive (constant) curvature, that if the rolling connection is reducible, then $(M,g)$ admits, as Riemannian covering, the unit sphere with the metric induced from the Euclidean metric of $\R^{n+1}$. When the two manifolds are three-dimensional, we provide a complete local characterization of the reachable sets when the two manifolds are three-dimensional and, in particular, we identify necessary and sufficient conditions for the existence of a non open orbit. Besides the trivial case where the manifolds $(M,g)$ and $(\hM,\hg)$ are (locally) isometric, we show that (local) non controllability occurs if and only if $(M,g)$ and $(\hM,\hg)$ are either warped products or contact manifolds with additional restrictions that we precisely describe. Finally, we extend the two types of rolling to the case where the manifolds have different dimensions.

연구 동기 및 목표

• 리만 기하학적 연결장 ∇g와 ∇ĝ를 사용하여 스핀 없이 굴림과 미끄럼 없이 굴림의 내재적이고 좌표에 의존하지 않는 기술을 제공한다.
• 기하학적 제어 이론을 사용하여 스핀 없이 굴림(NS) 및 굴림(R) 시스템의 제어 가능성 분석하기.
• 특히 곡률이 비영인 경우에 대해 굴림 시스템의 도달 가능한 집합을 특성화하기.
• 3차원 다각체에서 국소적 및 전역적 제어 가능성의 필요 및 충분 조건을 규명하기.
• 다른 차원의 다각체로 굴림 프레임워크를 확장하기.

제안 방법

• 상태 공간 Q를 M와 M̂ 위의 올맞춤 기저의 주기본 다발로 정의하고 자연적인 다발 구조를 부여한다.
• 리만 기하학적 연결장 ∇g와 ∇ĝ를 사용하여 두 분포인 DNS(스핀 없음)와 DR(굴림)를 정의한다.
• 상태 공간 Q에 있는 '굴림 곡률 텐서'를 도입하여 DR의 리 괄호의 구조를 제어한다.
• TM ⊕ R 위에 있는 '굴림 접속'을 구성하며, 이 접속의 호로노미 군이 비영인 곡률에서 DR-궤도의 구조를 결정한다.
• 리 괄호 계산과 곡률 항등식을 사용하여 DR의 궤도 구조와 적분 가능성 분석하기.
• 암브로즈의 정리와 공간 형상에 대한 결과를 적용하여, 한 다각체가 공간 형상일 경우의 제어 가능성 특성화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 굴림이 없는(R) 시스템이 완전히 제어 가능해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 굴림 곡률 텐서는 굴림 시스템의 리 괄호 구조와 궤도 기하학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 (M,g)의 호로노미 군은 굴림(R) 시스템의 제어 가능성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 3차원에서 국소적 비제어 가능성은 언제 발생하며, 어떤 기하학적 구조(예: 와핑 곱, 접촉 다각체)가 원인인가?
• RQ5 굴림 문제를 다른 차원의 다각체로 어떻게 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 스핀이 없는(NS) 문제의 경우, 임의의 초기 상태에서 도달 가능한 집합은 (M,g)와 (M̂,ĝ)의 호로노미 군의 곱으로 정확히 기술된다.
• 곡률가 0인 경우, 굴림(R) 시스템은 (M,g)의 호로노미 군이 SO(n)일 때에만 완전히 제어 가능하다.
• 곡률가 비영인 경우, DR-궤도의 구조군은 새로운 접속—'굴림 접속'—의 호로노미 군으로서 실현된다. 이 접속은 TM ⊕ R 위에 정의된다.
• 굴림 접속이 기약 가능하고 목표 다각체가 양의 곡률을 가진 공간 형상일 경우, (M,g)는 n-구면을 리만 피복으로 가진다.
• 3차원에서 국소적 비제어 가능성은 (M,g)와 (M̂,ĝ)가 특정 곡률 제약 조건을 만족하는 와핑 곱 또는 접촉 다각체일 때에만 발생한다.
• 논문은 3차원에서 도달 가능한 집합의 완전한 국소적 특성화를 제공하며, 등거리 사례를 초월한 비개방 궤도에 대한 필요 및 충분 조건을 규명한다.