[논문 리뷰] Romu: Fast Nonlinear Pseudo-Random Number Generators Providing High Quality

Mark A. Overton|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 26.

Chaos-based Image/Signal Encryption인용 수 4

한 줄 요약

Romu는 비선형 회전과 선형 승수(및 선택적 덧셈)를 조합한 빠르고 고품질의 의사난수 생성기(PRNG) 가족을 소개한다. 이는 선형만을 사용하는 기존 PRNG보다 단위 연산당 더 뛰어난 난수성을 달성한다. 이러한 생성기는 BigCrush 및 PractRand와 같은 가장 엄격한 통계적 테스트를 통과하며, 인라인 처리 시 출력 지연이 0이 되고, 수천 개의 독립적인 스트림을 지원하며, 축소된 버전을 통한 확률적 용량 추정치를 제공한다.

ABSTRACT

We introduce the Romu family of pseudo-random number generators (PRNGs) which combines the nonlinear operation of rotation with the linear operations of multiplication and (optionally) addition. Compared to conventional linear-only PRNGs, this mixture of linear and nonlinear operations achieves a greater degree of randomness using the same number of arithmetic operations. Or equivalently, it achieves the same randomness with fewer operations, resulting in higher speed. The statistical properties of these generators are strong, as they pass BigCrush and PractRand -- the most stringent test suites available. In addition, Romu generators take maximum advantage of instruction-level parallelism in modern superscalar processors, giving them an output latency of zero clock-cycles when inlined, thus adding no delay to an application. Scaled-down versions of these generators can be created and tested, enabling one to estimate the maximum number of values the full-size generators can supply before their randomness declines, ensuring the success of large jobs. Such capacity-estimates are rare for conventional PRNGs. A linear PRNG has a single cycle of states of known length comprising almost all possible states. However, a Romu generator computes pseudo-random permutations of those states, creating multiple cycles with pseudo-random lengths which cannot be determined by theory. But the ease of creating state-sizes of 128 or more bits allows (1) short cycles to be constrained to vanishingly low probabilities, and (2) thousands of parallel streams to be created having infinitesimal probabilities of overlap.

연구 동기 및 목표

• 비선형 연산을 통합함으로써 기존 선형 생성기보다 난수 품질과 속도에서 뛰어난 새로운 PRNG 클래스를 설계하는 것.
• 선형 PRNG의 한계(예측 가능한 순환 구조, 단위 연산당 낮은 난수성)를 해소하기 위해 선형-비선형 혼합 상태 전이 방식을 제안하는 것.
• 크고 병렬적인 응용 프로그램에서 실용적으로 사용할 수 있도록, 높은 상태 크기와 낮은 오버랩을 가진 수천 개의 독립적 스트림을 지원하는 것.
• 축소된 버전의 실험적 테스트를 통해 이론적 순환 길이 분석이 비선형 상태 전이로 인해 어렵더라도, 생성기 용량에 대한 정량적 추정치를 제공하는 것.
• 비선형 연산(예: 회전)이 순수 선형 연산보다 난수 효율성을 크게 향상시킬 수 있음을 입증하는 것.

제안 방법

• Romu 생성기는 핵심 상태 갱신 함수로 회전(ROTL)과 승수를 사용하며, 선택적 덧셈을 포함해 내부 상태의 비선형 변환을 형성한다.
• 각 생성기는 64비트 상태 변수의 수로 이름이 지정되며(예: RomuTrio는 세 개의 64비트 상태 단어를 가짐), 32비트 버전은 '32' 접미사를 붙여 표기한다.
• 상태 갱신은 최소한의 산술 연산으로 이루어지며, 예를 들어 RomuMono32는 두 가지 연산(좌측 회전, 승수)만을 사용해 지명 수준 병렬성(ILP)을 극대화한다.
• 생성기는 응용 프로그램에 인라인으로 삽입될 수 있도록 설계되어 현대 슈퍼스칼라 프로세서에서 1사이클의 출력 지연(1사이클 처리량)을 달성한다.
• 용량 추정치는 축소된 버전(예: 32비트 상태)을 테스트하여 실패 시점을 확인하고, 이를 전체 크기 생성기로 외삽하여 순환 길이와 스트림 오버랩 확률의 상한을 도출한다.
• 통계적 품질은 PractRand 및 BigCrush 테스트 세트를 통해 엄격히 검증되며, PractRand는 통과/실패 외에도 정량적 적합도 지표를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 회전과 선형 승수를 조합한 하이브리드 접근 방식이 순수 선형 생성기보다 단위 연산당 더 뛰어난 난수성을 제공할 수 있는가?
• RQ2 인라인 처리 시, 지명 수준 병렬성(ILP)을 얼마나 효과적으로 활용할 수 있으며, 이를 통해 출력 지연이 0이 되는가?
• RQ3 비선형 상태 전이로 인해 이론적 순환 길이 분석이 불가능한 상황에서, 생성기의 실질적 용량을 어떻게 실험적으로 추정할 수 있는가?
• RQ4 대규모 병렬 시뮬레이션에서 Romu 생성기를 사용할 경우 순환 길이 단축 또는 스트림 오버랩의 확률은 얼마이며, 이를 무시할 수준으로 줄일 수 있는가?
• RQ5 두 가지 이하의 연산(예: 두 번)만으로도 PCG나 LCG와 같은 더 복잡한 생성기의 통계적 품질에 도달하거나 이를 초월할 수 있는가?

주요 결과

• Romu 생성기는 BigCrush 및 PractRand 테스트 세트를 모두 통과하며, PractRand는 최대 2^46 바이트까지 테스트하여 높은 통계적 품질을 확인했다.
• RomuMono32는 좌측 회전과 승수 두 가지 산술 연산만을 사용해, 7개의 연산이 필요한 32비트 pcg-xsh-rr 생성기와 동일한 통계적 품질을 달성했다.
• RomuMono32는 난수 품질이 열화되기 전까지 약 2^27 바이트(약 1억 3,400만 개의 32비트 값)의 용량을 가지며, 이는 유사한 LCG의 2^16 제한을 훨씬 초월한다.
• 192비트 상태를 가진 RomuTrio는 약 2^75 바이트의 용량을 추정하며, 순환 길이 및 스트림 오버랩 확률이 극히 낮다.
• 인라인 처리 시 뛰어난 ILP 활용 덕분에 Romu 생성기는 출력 지연이 0이 되어, 클럭 주기당 하나의 출력을 처리할 수 있다.
• 승수와 함께 비선형 회전을 사용함으로써 난수 효율성이 향상되며, 예를 들어 3개의 연산만으로도 64비트 선형 PRNG는 RomuDuoJr의 품질을 따라오지 못한다.